2014年考研数学一第9题

为了求解曲面 $x^{2}(1-\sin y)+y^{2}(1-\sin x)=z$ 上某点处的切平面方程，我们首先需要将曲面方程转化为隐函数形式。隐函数构造的目的是将曲面表示为 $F(x,y,z)=0$ 的形式，从而可以利用梯度向量 $ \nabla F$ 得到曲面的法向量。 给定曲面方程为 $x^{2}(1-\sin y)+y^{2}(1-\sin x)=z$。移项，将所有项移到等号左边，得到： $$x^{2}(1-\sin y)+y^{2}(1-\sin x)-z=0$$ 令 $F(x,y,z)=x^{2}(1-\sin y)+y^{2}(1-\sin x)-z$，则曲面方程等价于 $F(x,y,z)=0$。这样我们就成功构造了隐函数。 注意：在构造隐函数时，通常将方程整理为 $F(x,y,z)=0$ 的形式，其中 $F$ 是一个三元函数。这里 $F$ 的定义域为全体实数，且 $F$ 是连续可微的，满足隐函数定理的条件。 构造完成后，曲面上任意一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量即为梯度向量 $ \nabla F(x_0,y_0,z_0)$，后续步骤将利用该法向量写出切平面方程。

设隐函数由方程 $F(x,y,z)=0$ 确定，其中 $F(x,y,z)=x^2(1-\sin y)+y^2(1-\sin x)-z$。为求隐函数的偏导数，需先计算 $F$ 对各个变量的偏导数。 首先求 $F_x$：将 $y$ 和 $z$ 视为常数，对 $x$ 求导。第一项 $x^2(1-\sin y)$ 的导数为 $2x(1-\sin y)$（因为 $1-\sin y$ 与 $x$ 无关）。第二项 $y^2(1-\sin x)$ 的导数为 $y^2\cdot(-\cos x) = -y^2\cos x$。第三项 $-z$ 对 $x$ 的导数为 $0$。因此 $$F_x = 2x(1-\sin y) - y^2\cos x.$$ 其次求 $F_y$：将 $x$ 和 $z$ 视为常数，对 $y$ 求导。第一项 $x^2(1-\sin y)$ 的导数为 $x^2\cdot(-\cos y) = -x^2\cos y$。第二项 $y^2(1-\sin x)$ 的导数为 $2y(1-\sin x)$（因为 $1-\sin x$ 与 $y$ 无关）。第三项 $-z$ 对 $y$ 的导数为 $0$。因此 $$F_y = -x^2\cos y + 2y(1-\sin x) = 2y(1-\sin x) - x^2\cos y.$$ 最后求 $F_z$：将 $x$ 和 $y$ 视为常数，对 $z$ 求导。前两项与 $z$ 无关，导数为 $0$；第三项 $-z$ 的导数为 $-1$。因此 $$F_z = -1.$$ 至此，梯度 $\nabla F = (F_x, F_y, F_z)$ 的三个分量已全部求出。

已知曲面方程为 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z-xy+1=0$，已求得偏导数为： $$F_x=2x-y,\quad F_y=2y-x,\quad F_z=1.$$ 现在将点 $(1,0,1)$ 代入上述偏导数表达式： - 代入 $F_x$：$F_x(1,0,1)=2\times1-0=2$； - 代入 $F_y$：$F_y(1,0,1)=2\times0-1=-1$； - 代入 $F_z$：$F_z(1,0,1)=1$（注意 $F_z$ 恒为常数 $1$，与坐标无关）。 因此，在点 $(1,0,1)$ 处，梯度向量为 $\nabla F=(2,-1,1)$。 曲面在给定点的法向量即为梯度向量，故法向量为 $\boldsymbol{n}=(2,-1,1)$。 注意：若曲面方程隐含为 $z=f(x,y)$ 的形式，则法向量也可表示为 $(f_x,f_y,-1)$，但此处直接使用隐函数梯度法更简洁。