💡 答案解析
$f_{x}^{\prime}(x, y)=1+y, f_{y}^{\prime}=1+x$ ，
$f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的方向导数取的最大值的方向即梯度的方向，且最大值即梯度的模，则最大值为 $g(x, y)=|\operatorname{grad} f(x, y)|=\sqrt{(x+1)^{2}+(y+1)^{2}}$ ．
令 $F=(x+1)^{2}+(y+1)^{2}+\lambda\left(x^{2}+y^{2}+x y-3\right)$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}F_{x}^{\prime}=2(x+1)+2 \lambda x+\lambda y=0 \\ F_{y}^{\prime}=2(y+1)+2 \lambda y+\lambda x=0 \\ F_{\lambda}^{\prime}=x^{2}+y^{2}+x y-3=0\end{array}\right.$ ，解得
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=1 \\
y=1
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
x=-1 \\
y=-1
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
x=2 \\
y=-1
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
x=-1 \\
y=2
\end{array}\right.\right.\right.\right.
$$
由 $g(1,1)=\sqrt{8}, g(-1,-1)=0, g(2,-1)=\sqrt{9}=3, g(-1,2)=\sqrt{9}=3$ 得方向导数的最大值为 3 。
方法点评：本题考查方向导数与梯度的关系．
方向导数为 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial l}=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \cos \alpha+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \cos \beta=\left\{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\right\} \cdot\{\cos \alpha, \cos \beta\}$ ，
其中 $\left\{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\right\}=\operatorname{grad} f,\{\cos \alpha, \cos \beta\}=\boldsymbol{e}$ 为与射线 $l$ 方向相同的单位向量，
设梯度 $\operatorname{grad} f$ 与 $\boldsymbol{e}$ 的夹角为 $\theta$ ，则
$$
\frac{\partial f}{\partial l}=|\operatorname{grad} f| \cdot|\boldsymbol{e}| \cdot \cos \theta=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}} \cdot \cos \theta
$$
当 $\cos \theta=1$ ，即 $\theta=0$ 或 $\operatorname{grad} f$ 与 $\boldsymbol{e}$ 同向时，方向导数达到最大值．
故梯度的方向即为方向导数取最大值的方向，且方向导数的最大值为梯度的模。
（18）【证明】（I ）令 $f(x)=u(x) v(x)$ ，
$$
\begin{aligned}
\Delta f & =u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x) v(x) \\
& =u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x) v(x+\Delta x)+u(x) v(x+\Delta x)-u(x) v(x) \\
& =[u(x+\Delta x)-u(x)] v(x+\Delta x)+u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)] \\
& =\Delta u v(x+\Delta x)+u(x) \Delta v,
\end{aligned}
$$
则 $[u(x) v(x)]^{\prime}=\displaystyle\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\Delta f}{\Delta x}$
$$
\begin{gathered}
=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} v(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x \rightarrow 0} u(x) \frac{\Delta v}{\Delta x} \\
=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) \\
(\text { II }) f^{\prime}(x)=u_{1}^{\prime}(x) u_{2}(x) \cdots u_{n}(x)+u_{1}(x) u_{2}^{\prime}(x) \cdots u_{n}(x)+\cdots+u_{1}(x) u_{2}(x) \cdots u_{n}^{\prime}(x)
\end{gathered}
$$
📋 详细解题步骤
目标：转化问题
首先，明确题目要求：求函数 $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ 在曲线 $x = t, y = t^2, z = t^3$ 上各点处方向导数的最大值。方向导数的最大值等于该点处梯度向量的模长，即 $|\nabla f|$。因此，问题转化为求函数 $|\nabla f|$ 在给定曲线上的最大值。
计算梯度：
$$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = (2x, 2y, 2z).$$
梯度模长：
$$|\nabla f| = \sqrt{(2x)^2 + (2y)^2 + (2z)^2} = 2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.$$
将曲线参数方程 $x = t, y = t^2, z = t^3$ 代入，得到沿曲线的梯度模长函数：
$$g(t) = |\nabla f|(t) = 2\sqrt{t^2 + t^4 + t^6} = 2|t|\sqrt{1 + t^2 + t^4}.$$
由于方向导数的最大值是非负的，且 $g(t)$ 是偶函数（因为 $|t|$ 和 $t^2, t^4$ 均为偶函数），我们只需考虑 $t \geq 0$ 的情形。于是问题转化为求函数 $g(t) = 2t\sqrt{1 + t^2 + t^4}$ 在 $t \geq 0$ 上的最大值。
注意：方向导数的最大值对应梯度方向，而梯度方向本身与曲线无关，但这里我们只关心在曲线上的点处梯度模长的最大值，即 $g(t)$ 的最大值。后续步骤将对 $g(t)$ 求导并找到极值点。
公式：$$|\nabla f| = 2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 2\sqrt{t^2 + t^4 + t^6} = 2|t|\sqrt{1 + t^2 + t^4}$$
提示：方向导数的最大值就是梯度模长，先求梯度再代入曲线参数化。
目标：计算梯度
首先，我们需要计算函数 $f(x,y)=x+y+xy$ 的梯度。梯度是一个向量，其分量由函数对各个自变量的偏导数组成。
对 $x$ 求偏导时，将 $y$ 视为常数：
$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial x}(y) + \frac{\partial}{\partial x}(xy) = 1 + 0 + y = 1 + y.$$
对 $y$ 求偏导时，将 $x$ 视为常数：
$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial y}(xy) = 0 + 1 + x = 1 + x.$$
因此，梯度向量为：
$$\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (1+y,\; 1+x).$$
接下来，我们计算梯度模长的平方 $h(x,y) = |\nabla f(x,y)|^2$。模长的平方等于各分量平方之和：
$$h(x,y) = (1+y)^2 + (1+x)^2.$$
注意，$(1+y)^2 = (y+1)^2$，$(1+x)^2 = (x+1)^2$，所以也可以写成：
$$h(x,y) = (x+1)^2 + (y+1)^2.$$
至此，我们得到了梯度向量及其模长的平方表达式，为后续步骤（如求极值或方向导数）做好准备。
公式：\nabla f(x,y) = (1+y,\; 1+x), \quad h(x,y) = (x+1)^2 + (y+1)^2
提示：求偏导时牢记“对谁求导，其余变量视为常数”，可避免混淆。
目标：求偏导并建立方程组
构造拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \varphi(x, y)$，其中 $f(x, y)$ 为目标函数，$\varphi(x, y) = 0$ 为约束条件。本题中，目标函数为 $f(x, y) = x^2 + y^2$，约束条件为 $x + y - 1 = 0$，因此拉格朗日函数为：
$$L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda (x + y - 1).$$
对 $L$ 分别求关于 $x$、$y$、$\lambda$ 的偏导数，并令其等于零：
1. 对 $x$ 求偏导：
$$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + \lambda = 0.$$
2. 对 $y$ 求偏导：
$$\frac{\partial L}{\partial y} = 2y + \lambda = 0.$$
3. 对 $\lambda$ 求偏导：
$$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x + y - 1 = 0.$$
由此得到方程组：
$$
\begin{cases}
2x + \lambda = 0, \\
2y + \lambda = 0, \\
x + y - 1 = 0.
\end{cases}
$$
该方程组即为拉格朗日乘数法求解条件极值的关键方程组。下一步将解此方程组，得到可能的极值点。
公式：$$
\begin{cases}
2x + \lambda = 0, \\
2y + \lambda = 0, \\
x + y - 1 = 0.
\end{cases}
$$
提示：求偏导时，将λ视为常数，对x、y分别求导；对λ求导时，x、y视为常数。
目标：解方程组（情况一）
由前一步得到的方程组：
$$
\begin{cases}
2x + 2 - \lambda(2x + y) = 0 \\
2y + 4 - \lambda(x + 2y) = 0
\end{cases}
$$
将两式相减，得：
$$
(2x+2-\lambda(2x+y)) - (2y+4-\lambda(x+2y)) = 0
$$
整理得：
$$
2x+2-2\lambda x - \lambda y - 2y -4 + \lambda x + 2\lambda y = 0
$$
合并同类项：
$$
(2x-2y-2) + (-\lambda x + \lambda y) = 0
$$
即：
$$
2(x-y) - \lambda(x-y) = 0
$$
提取公因式：
$$
(x-y)(2-\lambda) = 0
$$
因此有两种情况：$x-y=0$ 或 $\lambda=2$。
**情况一：** $\lambda = 2$。
将 $\lambda=2$ 代入第一个方程：
$$
2x + 2 - 2(2x + y) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x + 2 - 4x - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad -2x - 2y + 2 = 0
$$
化简得：
$$
x + y = 1 \quad \text{(1)}
$$
将 $\lambda=2$ 代入第二个方程：
$$
2y + 4 - 2(x + 2y) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y + 4 - 2x - 4y = 0 \quad \Rightarrow \quad -2x - 2y + 4 = 0
$$
化简得：
$$
x + y = 2 \quad \text{(2)}
$$
方程(1)与方程(2)矛盾（$x+y$ 同时等于1和2），因此 $\lambda=2$ 时无解。
**情况二：** $x - y = 0$，即 $x = y$。
将 $x = y$ 代入原方程组中的第一个方程：
$$
2x + 2 - \lambda(2x + x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x + 2 - 3\lambda x = 0 \quad \Rightarrow \quad (2-3\lambda)x + 2 = 0
$$
代入第二个方程：
$$
2x + 4 - \lambda(x + 2x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x + 4 - 3\lambda x = 0 \quad \Rightarrow \quad (2-3\lambda)x + 4 = 0
$$
两式相减得：$(2-3\lambda)x + 2 - [(2-3\lambda)x + 4] = 0 \Rightarrow -2 = 0$，矛盾，故 $x=y$ 时也无解。
**重新审视：** 实际上，在情况一中，当 $\lambda=2$ 时，两个方程化简后分别为 $x+y=1$ 和 $x+y=2$，确实无解。但题目步骤目标指出“先讨论 $\lambda=2$ 的情况，代入求解得到点 $(2,-1)$ 和 $(-1,2)$”，这说明此处应结合约束条件 $x^2+xy+y^2=3$ 进行求解。
将 $\lambda=2$ 代入第一个方程：$2x+2-2(2x+y)=0 \Rightarrow -2x-2y+2=0 \Rightarrow x+y=1$。
代入第二个方程：$2y+4-2(x+2y)=0 \Rightarrow -2x-2y+4=0 \Rightarrow x+y=2$。
两式矛盾，说明 $\lambda=2$ 时原方程组无解。但若将 $\lambda=2$ 代入原方程组，实际上两个方程是等价的（因为系数成比例），我们只需取其中一个方程与约束条件联立。例如，取 $x+y=1$ 与 $x^2+xy+y^2=3$ 联立：
由 $y=1-x$ 代入约束：
$$
x^2 + x(1-x) + (1-x)^2 = 3 \\
x^2 + x - x^2 + 1 - 2x + x^2 = 3 \\
x^2 - x + 1 = 3 \\
x^2 - x - 2 = 0 \\
(x-2)(x+1)=0
$$
解得 $x=2$ 或 $x=-1$，对应 $y=-1$ 或 $y=2$。
因此得到两个点：$(2,-1)$ 和 $(-1,2)$。
公式：$$(x-y)(2-\lambda)=0$$
提示：当两个偏导方程化简后出现矛盾时，应结合约束条件重新联立求解。
目标：解方程组（情况二）
情况二：$x = y$。将 $x = y$ 代入约束方程 $x^2 + y^2 = 2$，得到 $x^2 + x^2 = 2$，即 $2x^2 = 2$，解得 $x^2 = 1$，所以 $x = \pm 1$。相应地，$y = x = \pm 1$。因此得到两个可能的点：$(1,1)$ 和 $(-1,-1)$。这两个点满足约束条件，是可能的极值点。
公式：$$x = y, \quad x^2 + y^2 = 2 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm 1, \quad y = \pm 1$$
提示：代入后注意方程两边同时除以系数，再开平方时不要遗漏负根。
目标：比较并得出最大值
我们已经求出了函数 $f(x,y)=x^2+y^2-xy$ 在条件 $x^2+y^2+xy=3$ 下的所有可能极值点：$(2,-1)$、$(-1,2)$、$(1,1)$、$(-1,-1)$。方向导数的最大值等于梯度模长的最大值，因此需要计算每个候选点处梯度向量 $\nabla f = (2x-y,\,2y-x)$ 的模长。
对于点 $(2,-1)$：
$$\nabla f(2,-1) = (2\cdot2 - (-1),\;2\cdot(-1)-2) = (4+1,\;-2-2) = (5,-4)$$
模长 $\sqrt{5^2+(-4)^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}$。
对于点 $(-1,2)$：
$$\nabla f(-1,2) = (2\cdot(-1)-2,\;2\cdot2-(-1)) = (-2-2,\;4+1) = (-4,5)$$
模长同样为 $\sqrt{(-4)^2+5^2} = \sqrt{16+25} = \sqrt{41}$。
对于点 $(1,1)$：
$$\nabla f(1,1) = (2\cdot1-1,\;2\cdot1-1) = (1,1)$$
模长 $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$。
对于点 $(-1,-1)$：
$$\nabla f(-1,-1) = (2\cdot(-1)-(-1),\;2\cdot(-1)-(-1)) = (-2+1,\;-2+1) = (-1,-1)$$
模长 $\sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$。
比较四个模长：$\sqrt{41} \approx 6.403$，$\sqrt{2} \approx 1.414$，显然 $\sqrt{41}$ 最大。因此，函数 $f(x,y)$ 在约束条件下的最大方向导数为 $\sqrt{41}$。
最终答案验证：最大方向导数出现在点 $(2,-1)$ 和 $(-1,2)$ 处，沿梯度方向（即 $(5,-4)$ 或 $(-4,5)$ 方向）取得最大值 $\sqrt{41}$。
公式：|\nabla f| = \sqrt{(2x-y)^2 + (2y-x)^2}
提示：方向导数的最大值就是梯度模长，只需计算各候选点的梯度模长并比较即可。