2015年考研数学一第23题

已知总体$X$的概率密度函数为 $$ f(x;\theta)= \begin{cases} \dfrac{1}{1-\theta}, & \theta \le x \le 1, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases} $$ 其中$0<\theta<1$。 总体期望$E(X)$的定义为 $$ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x;\theta) \, dx. $$ 由于$f(x;\theta)$仅在区间$[\theta,1]$上非零，因此积分区间为$[\theta,1]$，且在该区间上$f(x;\theta)=\frac{1}{1-\theta}$。于是 $$ E(X)=\int_{\theta}^{1} x \cdot \frac{1}{1-\theta} \, dx = \frac{1}{1-\theta} \int_{\theta}^{1} x \, dx. $$ 计算定积分$\int_{\theta}^{1} x \, dx$： $$ \int_{\theta}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{\theta}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{\theta^2}{2} = \frac{1-\theta^2}{2}. $$ 代入得 $$ E(X) = \frac{1}{1-\theta} \cdot \frac{1-\theta^2}{2} = \frac{1-\theta^2}{2(1-\theta)}. $$ 利用平方差公式$1-\theta^2=(1-\theta)(1+\theta)$，化简得 $$ E(X) = \frac{(1-\theta)(1+\theta)}{2(1-\theta)} = \frac{1+\theta}{2}. $$ 因此，总体期望$E(X)=\dfrac{1+\theta}{2}$。

根据矩估计法的基本思想，用样本矩代替总体矩，建立方程求解未知参数。本题中总体$X$服从区间$[\theta,1]$上的均匀分布，其数学期望为$E(X)=\frac{1+\theta}{2}$。设样本均值为$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，令总体一阶原点矩等于样本一阶原点矩，即$$E(X)=\bar{X}$$代入总体期望表达式得$$\frac{1+\theta}{2}=\bar{X}$$两边同时乘以2：$$1+\theta=2\bar{X}$$移项解得$$\theta=2\bar{X}-1$$因此，参数$\theta$的矩估计量为$$\hat{\theta}=2\bar{X}-1$$其中$\bar{X}$为样本均值。该估计量是样本均值的线性函数，计算简便。注意：矩估计法不要求总体分布的具体形式，只需知道总体矩与参数的关系即可。

已知总体 $X$ 服从区间 $[\theta, 1]$ 上的均匀分布，其概率密度函数为 $f(x;\theta) = \frac{1}{1-\theta}, \theta \le x \le 1$。设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本，样本观测值为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$。由于各观测独立，样本的联合概率密度函数（即似然函数）为各观测密度函数的乘积： $$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i;\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{1-\theta} = \frac{1}{(1-\theta)^n}.$$ 但该表达式仅在所有观测值 $x_i$ 均落在 $[\theta, 1]$ 内时成立，即必须满足 $\theta \le x_i \le 1$ 对每一个 $i=1,\ldots,n$ 成立。这等价于 $\theta \le \min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ 且 $\max\{x_1, x_2, \ldots, x_n\} \le 1$。由于总体上限为1，样本最大值必然不超过1，因此主要约束条件为 $\theta \le \min\{x_i\}$。此外，参数 $\theta$ 本身满足 $\theta < 1$（均匀分布定义域要求），且通常 $\theta$ 为未知实数。综上，似然函数可写为： $$L(\theta) = \begin{cases} \dfrac{1}{(1-\theta)^n}, & \theta \le \min\{x_i\}, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$ 注意，当 $\theta > \min\{x_i\}$ 时，至少有一个观测值小于 $\theta$，其密度为0，故似然函数为0。因此，参数 $\theta$ 的有效取值范围为 $(-\infty, \min\{x_i\}]$，且 $\theta < 1$。在实际极大似然估计中，我们只关心 $\theta \le \min\{x_i\}$ 的区域，因为在此区域外似然函数恒为0，不可能取得最大值。

为了确定参数$\theta$的最大似然估计，我们需要分析似然函数$L(\theta)$的单调性。由第3步得到的似然函数为： $$L(\theta) = \frac{1}{(1-\theta)^n}, \quad 0 < \theta < 1.$$ 对$L(\theta)$关于$\theta$求导，利用幂函数的求导法则： $$\frac{dL}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} (1-\theta)^{-n} = -n (1-\theta)^{-n-1} \cdot (-1) = \frac{n}{(1-\theta)^{n+1}}.$$ 由于样本容量$n>0$，且$\theta \in (0,1)$，故$1-\theta > 0$，因此分母$(1-\theta)^{n+1} > 0$，分子$n>0$，所以导数恒为正： $$\frac{dL}{d\theta} = \frac{n}{(1-\theta)^{n+1}} > 0, \quad \forall \theta \in (0,1).$$ 这表明$L(\theta)$在定义域$(0,1)$上是严格单调递增函数。因此，$L(\theta)$在$\theta$越接近1时取值越大。但需注意$\theta$的取值范围受到样本观测值的约束：由第2步可知，$\theta$必须满足$\theta \leq \min\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$，否则似然函数为零。结合单调性，$L(\theta)$在$\theta$可取的最大值处达到最大，即$\theta$的最大似然估计为$\hat{\theta} = \min\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$。该结论将在下一步中正式给出。

由步骤4已得到似然函数$L(\theta) = \frac{1}{\theta^n}$，且参数$\theta$的取值范围受样本观测值约束，必须满足$\theta \leq \min\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$，否则似然函数值为0。在$\theta \leq \min\{x_i\}$的区间内，$L(\theta) = \frac{1}{\theta^n}$是$\theta$的严格递减函数（因为$n>0$，$\theta$越大分母越大，函数值越小）。因此，要使$L(\theta)$达到最大，$\theta$应取尽可能小的值。但$\theta$不能无限小，它受到分布定义域的限制：总体$X$的密度函数为$f(x;\theta)=\frac{1}{\theta}, \ 0 \max\{x_i\}$。但题目中给出的密度函数形式为$f(x;\theta)=\frac{1}{\theta}, \ 0

公式：$$\hat{\theta} = \min\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$$

提示：注意似然函数在参数区间内的单调性，结合约束条件确定极值点。