2015年考研数学一第4题

首先，为了将二重积分转化为极坐标形式，我们引入极坐标变换。令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，其中 $r \geq 0$ 表示点到原点的距离，$\theta$ 表示从 $x$ 轴正方向逆时针旋转的角度。在此变换下，被积函数中的 $xy$ 项变为： $$xy = (r\cos\theta)(r\sin\theta) = r^2 \sin\theta \cos\theta = \frac{r^2}{2} \sin 2\theta.$$ 同时，面积微元 $dxdy$ 在极坐标下变为 $r\,dr\,d\theta$。因此，原积分中的被积函数 $xy$ 替换为 $\frac{r^2}{2}\sin 2\theta$，积分区域也需要根据 $r$ 和 $\theta$ 的范围重新描述。这一变换是后续步骤的基础，它将直角坐标下的复杂积分转化为极坐标下更易处理的形式。

在极坐标系中，角度θ通常从极轴（x轴正半轴）开始逆时针度量。本题中，积分区域由两条直线围成：直线$y=x$和直线$y=\sqrt{3}x$。首先，将这两条直线的方程转化为极坐标形式。在极坐标下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，代入$y=x$得$r\sin\theta = r\cos\theta$，即$\tan\theta = 1$，解得$\theta = \frac{\pi}{4}$（取第一象限内的角）。同理，代入$y=\sqrt{3}x$得$r\sin\theta = \sqrt{3}r\cos\theta$，即$\tan\theta = \sqrt{3}$，解得$\theta = \frac{\pi}{3}$（第一象限内）。由于积分区域位于第一象限，且由这两条直线所夹，因此θ从较小的角$\frac{\pi}{4}$变化到较大的角$\frac{\pi}{3}$。注意，这里假设区域是射线$\theta = \frac{\pi}{4}$与$\theta = \frac{\pi}{3}$之间的扇形部分（可能还受半径r的上下界限制，但本步骤仅确定θ的范围）。因此，角度θ的取值范围为：$$\theta \in \left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3} \right]$$

在极坐标变换下，令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则曲线 $2xy = 1$ 化为 $2 \cdot (r\cos\theta)(r\sin\theta) = 1$，即 $2r^2 \sin\theta \cos\theta = 1$。利用二倍角公式 $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$，可得 $r^2 \sin2\theta = 1$，因此 $r = \frac{1}{\sqrt{\sin2\theta}}$。类似地，曲线 $4xy = 1$ 化为 $4 \cdot (r\cos\theta)(r\sin\theta) = 1$，即 $4r^2 \sin\theta \cos\theta = 1$，利用 $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ 得 $2r^2 \sin2\theta = 1$，故 $r = \frac{1}{\sqrt{2\sin2\theta}}$。 由于区域 $D$ 是由 $2xy = 1$ 和 $4xy = 1$ 所围成的有界闭区域，在极坐标下，对于固定的 $\theta$，径向 $r$ 从内边界（较小的 $r$）到外边界（较大的 $r$）变化。比较两个表达式：$\frac{1}{\sqrt{2\sin2\theta}}$ 的分母更大，因此其值更小，为内边界；$\frac{1}{\sqrt{\sin2\theta}}$ 的值更大，为外边界。因此径向 $r$ 的下限为 $\frac{1}{\sqrt{2\sin2\theta}}$，上限为 $\frac{1}{\sqrt{\sin2\theta}}$。注意 $\theta$ 的取值范围需保证 $\sin2\theta > 0$，即 $2\theta \in (0, \pi)$，亦即 $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$。

首先，由前一步骤已确定积分区域在极坐标下的描述：角度$\theta$从$\frac{\pi}{4}$到$\frac{\pi}{3}$，对于每个固定的$\theta$，径向$r$的下限为$\frac{1}{\sqrt{2\sin 2\theta}}$，上限为$\frac{1}{\sqrt{\sin 2\theta}}$。 将直角坐标下的二重积分$\iint_D f(x,y)\,dxdy$转换为极坐标形式。极坐标变换公式为： $$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$$ 面积元$dxdy$变为$r\,dr\,d\theta$。被积函数$f(x,y)$相应地替换为$f(r\cos\theta, r\sin\theta)$。 因此，积分表达式为： $$\iint_D f(x,y)\,dxdy = \int_{\theta=\pi/4}^{\pi/3} d\theta \int_{r=1/\sqrt{2\sin 2\theta}}^{1/\sqrt{\sin 2\theta}} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, dr$$ 注意：积分次序为先对$r$积分（内层），再对$\theta$积分（外层）。内层积分中$r$的上下限依赖于$\theta$，外层积分中$\theta$为常数。

在完成极坐标变换并写出正确的积分表达式后，我们需要将结果与四个选项进行对比。 首先，回顾我们推导出的正确积分形式： $$\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr$$ 其中面积元为 $r\,dr\,d\theta$。 现在逐一检查选项： - **(A)** 积分限为 $\int_{0}^{\pi} d\theta \int_{0}^{\sec\theta} \cdots r\,dr$。这里 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$ 包含了 $\theta = \pi/2$ 附近，此时 $\sec\theta$ 趋于无穷大，积分区域不正确；且面积元正确，但积分限错误。 - **(B)** 积分限为 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \int_{0}^{\sec\theta} \cdots r\,dr$。$\theta$ 从 $-\pi/2$ 到 $\pi/2$ 覆盖了直线 $x=1$ 右侧的半圆区域，$r$ 从 $0$ 到 $\sec\theta$ 对应 $x=1$ 的边界（因为 $r\cos\theta=1 \Rightarrow r=\sec\theta$），面积元 $r\,dr\,d\theta$ 正确。因此选项 (B) 符合要求。 - **(C)** 积分限为 $\int_{0}^{\pi} d\theta \int_{0}^{\sec\theta} \cdots dr$。这里面积元缺少因子 $r$，即使用了 $dr\,d\theta$ 而非 $r\,dr\,d\theta$，这是错误的。 - **(D)** 积分限为 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \int_{0}^{\sec\theta} \cdots dr$。与 (C) 类似，面积元缺少 $r$，错误。 因此，只有选项 (B) 同时满足正确的积分限和正确的面积元 $r\,dr\,d\theta$。 **最终答案验证**：将直角坐标下的积分区域 $D: x^2+y^2 \le 1, x \ge 0$ 转换为极坐标，$\theta$ 范围应为 $[-\pi/2, \pi/2]$，$r$ 从 $0$ 到 $\sec\theta$（由 $x=1$ 即 $r\cos\theta=1$ 得到），面积元 $r\,dr\,d\theta$。选项 (B) 完全匹配。 故正确答案为 (B)。