2017年考研数学一第10题

给定二阶常系数齐次线性微分方程： $$y'' + 2y' + 3y = 0$$ 对于形如 $y'' + p y' + q y = 0$ 的齐次方程，我们假设解具有指数形式 $y = e^{\lambda x}$，其中 $\lambda$ 为待定常数。将 $y = e^{\lambda x}$ 代入方程，计算一阶导数 $y' = \lambda e^{\lambda x}$，二阶导数 $y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$。代入原方程得： $$\lambda^2 e^{\lambda x} + 2\lambda e^{\lambda x} + 3 e^{\lambda x} = 0$$ 由于 $e^{\lambda x} \neq 0$，可以两边同除以 $e^{\lambda x}$，得到关于 $\lambda$ 的代数方程： $$\lambda^2 + 2\lambda + 3 = 0$$ 这个方程称为原微分方程的**特征方程**。特征方程的根（特征根）决定了微分方程通解的形式。至此，我们完成了第一步：写出特征方程。

由第一步得到的特征方程 $\lambda^2 + 2\lambda + 3 = 0$，这是一个一元二次方程。使用求根公式 $\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a=1$，$b=2$，$c=3$。计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$。由于判别式小于零，特征根为一对共轭复根。代入求根公式： $$ \lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}i}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = -1 \pm \sqrt{2}i. $$ 因此，特征根为 $\lambda_1 = -1 + \sqrt{2}i$，$\lambda_2 = -1 - \sqrt{2}i$。这两个根是共轭复数，实部为 $-1$，虚部为 $\pm \sqrt{2}$。