2017年考研数学一第20题
📝 题目
设3阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ 有3个不同的特征值，且 $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ． （ I ）证明 $r(\boldsymbol{A})=2$ ； （II）设 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解．
💡 答案解析
好的，下面我们按照题目要求分步骤详细解答，确保逻辑严谨且过程完整。
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## **题目**
设3阶矩阵 \[ \boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3) \] 有3个不同的特征值，且 \[ \boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2. \]
（I）证明 \( r(\boldsymbol{A})=2 \) （II）设 \(\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3\)，求方程组 \(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\beta}\) 的通解。
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## **解答**
### （I）证明秩为2
已知矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 按列分块为 \[ \boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3) \] 这里每个 \(\boldsymbol{\alpha}_i\) 是三维列向量。
题设给出 \[ \boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 \] 这说明三个列向量之间线性相关（第三列可由前两列线性表示），因此 \[ r(\boldsymbol{A}) \le 2. \]
另一方面，矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 有3个不同的特征值。任何一个 \(3\times 3\) 矩阵若有三个互异的特征值，那么它的特征多项式有三个不同的根，不能说秩一定为几。我们需要进一步思考：
要注意“有3个不同的特征值”意味着矩阵可以对角化（因为不同特征值对应的特征向量线性无关），并且 **特征值不可能全为0**，因为若全零特征值则秩为0，与存在非零特征值矛盾。但更关键是：如果秩小于2，那么至少有两个特征值为0，而另一个必须非零且不同，这样最多只有2个不同的特征值，不可能出现**3个不同的特征值**。 证明如下：
- 若 \(r(A) \le 1\)，则零特征值的几何重数至少为2，代数重数至少是几何重数，就会至少有2个相同的特征值0，不可能有三个不同特征值。因此 \(r(A) \neq 1\) 且 \(r(A) \neq 0\)。 - 已知 \(r(A) \le 2\)，故此只能是 \(r(A)=2\)。
因此秩为2得证。
> **结论**：\( r(\boldsymbol{A}) = 2 \)。
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### （II）通解
第一步，向量 \(\boldsymbol{\beta}\) 由列向量表示为： \[ \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3. \] 利用已知关系 \(\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2\) 代入， \[ \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + (\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2) = 2\boldsymbol{\alpha}_1 + 3\boldsymbol{\alpha}_2. \]
由于 \(A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)\)，方程 \[ A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\beta} \] 可以写成 \[ x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + x_3 \boldsymbol{\alpha}_3 = 2\boldsymbol{\alpha}_1 + 3\boldsymbol{\alpha}_2. \]
再把 \(\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2\) 代入左边： \[ x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + x_3 (\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2) = (x_1 + x_3) \boldsymbol{\alpha}_1 + (x_2 + 2x_3) \boldsymbol{\alpha}_2. \]
于是方程等价于： \[ (x_1 + x_3) \boldsymbol{\alpha}_1 + (x_2 + 2x_3) \boldsymbol{\alpha}_2 = 2\boldsymbol{\alpha}_1 + 3\boldsymbol{\alpha}_2. \]
因为\(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\)线性无关（由秩为2可知前两列是最大无关组），所以对应系数相等： \[ \begin{cases} x_1 + x_3 = 2,\\ x_2 + 2x_3 = 3. \end{cases} \]
这是一个关于 \(x_1, x_2, x_3\) 的方程组，自由变量为 \(x_3\)，记 \(x_3 = k\)（\(k\)为任意常数），则 \[ x_1 = 2 - k,\quad x_2 = 3 - 2k. \]
因此通解为： \[ \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} 2 - k \\ 3 - 2k \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}. \]
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**最终答案**：
（I）证明如上； （II）通解为 \[ \boxed{\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix},\quad k\in\mathbb{R}} \]