2017年考研数学一第22题

解答题 · 11分

📝 题目

设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X$ 的概率分布为 $P\{X=0\}=P\{X=2\}=\displaystyle\frac{1}{2}, Y$ 的概率密度为 $f(y)= \begin{cases}2 y, & 0\lt y\lt 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$ （I）求 $P\{Y \leqslant E(Y)\}$ ； （II）求 $Z=X+Y$ 的概率密度．

💡 答案解析

**答案**: 见解析

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**解析**:

（I ）$E(Y)=\displaystyle\int_{0}^{1} y \cdot 2 y \mathrm{~d} y=\displaystyle\frac{2}{3}$ ，

$$ P\{Y \leqslant E(Y)\}=P\left\{Y \leqslant \frac{2}{3}\right\}=\int_{0}^{\frac{2}{3}} 2 y \mathrm{~d} y=\frac{4}{9} $$

（II）方法一 $F_{Z}(z)=P\{Z \leqslant z\}=P\{X+Y \leqslant z\}$ ， 当 $z\lt 0$ 时，$F_{Z}(z)=0$ ； 当 $z \geqslant 3$ 时，$F_{Z}(z)=1$ ； 当 $0 \leqslant z\lt 1$ 时，$F_{Z}(z)=P\{X=0, Y \leqslant z\}=P\{X=0, Y \leqslant z\}$

$$ =P\{X=0\} P\{Y \leqslant z\}=\frac{1}{2} \int_{0}^{z} 2 y \mathrm{~d} y=\frac{z^{2}}{2} $$

当 $1 \leqslant z\lt 2$ 时，$F_{Z}(z)=P\{X=0, Y \leqslant z\}=P\{X=0\} P\{Y \leqslant 1\}=\displaystyle\frac{1}{2}$ ； 当 $2 \leqslant z\lt 3$ 时，$F_{Z}(z)=P\{X=0, Y \leqslant z\}+P\{X=2, Z \leqslant z-2\}$

$$ \begin{aligned} & =P\{X=0\} P\{Y \leqslant 1\}+P\{X=2\} P\{Y \leqslant z-2\} \\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \int_{0}^{z-2} 2 y \mathrm{~d} y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(z-2)^{2} \end{aligned} $$

即 $F_{Z}(z)= \begin{cases}0, & z\lt 0, \\ \displaystyle\frac{z^{2}}{2}, & 0 \leqslant z\lt 1, \\ \displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}(z-2)^{2}, & 2 \leqslant z\lt 3, \\ 1, & z \geqslant 3,\end{cases}$ 概率密度为 $f_{Z}(z)= \begin{cases}z, & 0\lt z\lt 1, \\ z-2, & 2\lt z\lt 3, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$ 方法二 由全概率公式得 $$ \begin{aligned} F_{Z}(z) & =P\{Z \leqslant z\}=P\{X+Y \leqslant z\} \\ & =P\{X=0\} P\{X+Y \leqslant z \mid X=0\}+P\{X=2\} P\{X+Y \leqslant z \mid X=2\} \\ & =\frac{1}{2} P\{Y \leqslant z\}+\frac{1}{2} P\{Y \leqslant z-2\} \end{aligned} $$

当 $z\lt 0$ 时，$F_{Z}(z)=0$ ； 当 $0 \leqslant z\lt 1$ 时，$F_{Z}(z)=\displaystyle\frac{1}{2} P\{Y \leqslant z\}=\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{z} 2 y \mathrm{~d} y=\displaystyle\frac{z^{2}}{2}$ ； 当 $1 \leqslant z\lt 2$ 时，$F_{Z}(z)=\displaystyle\frac{1}{2} P\{Y \leqslant 1\}=\displaystyle\frac{1}{2}$ ； 当 $2 \leqslant z\lt 3$ 时，$F_{Z}(z)=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2} P\{Y \leqslant z-2\}$

$$ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \int_{0}^{z-2} 2 y \mathrm{~d} y=\frac{1}{2}+\frac{(z-2)^{2}}{2} $$

当 $z \geqslant 3$ 时，$F_{Z}(z)=1$ ， 故 $f_{Z}(z)=F^{\prime}(z)= \begin{cases}z, & 0\lt z\lt 1, \\ z-2, & 2\lt z\lt 3, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：计算Y的期望E(Y)
已知随机变量$Y$的概率密度函数为$f_Y(y) = 2y$，其中$0 \leq y \leq 1$，其他处为0。期望$E(Y)$的定义为$E(Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} y \cdot f_Y(y) \, dy$。由于$f_Y(y)$在$[0,1]$上非零，因此积分区间为$[0,1]$。代入$f_Y(y)=2y$，得： $$E(Y) = \int_0^1 y \cdot 2y \, dy = \int_0^1 2y^2 \, dy.$$ 计算定积分： $$\int_0^1 2y^2 \, dy = 2 \cdot \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = 2 \cdot \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$ 因此，$Y$的期望为$E(Y) = \frac{2}{3}$。
公式：$$E(Y) = \int_0^1 y \cdot 2y \, dy = \frac{2}{3}$$
提示：注意期望公式中要乘以$y$，且积分区间由密度函数的支撑集决定。
步骤 2/5
目标：求概率P{Y≤E(Y)}
首先，由第1步已求得随机变量$Y$的数学期望为$E(Y)=\frac{2}{3}$。本题要求概率$P\{Y \leq E(Y)\}$，即$P\left\{Y \leq \frac{2}{3}\right\}$。 已知$Y$的概率密度函数为： $$f_Y(y)=\begin{cases} 2y, & 0
公式：$$P\{Y \leq E(Y)\} = \int_{0}^{E(Y)} f_Y(y)\,dy = \int_{0}^{\frac{2}{3}} 2y\,dy = \frac{4}{9}$$
提示：连续型随机变量概率等于密度函数在区间上的积分，注意积分上下限与密度函数定义域。
步骤 3/5
目标：建立Z的分布函数表达式
设随机变量$X$与$Y$相互独立，$X$的分布律为$P\{X=0\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}$，$Y$服从参数为$\lambda=1$的指数分布，其概率密度函数为$f_Y(y)=e^{-y},\ y>0$，分布函数为$F_Y(y)=1-e^{-y},\ y>0$。定义随机变量$Z=X+Y$。 为了求$Z$的分布函数$F_Z(z)=P\{Z\leq z\}$，由于$X$只取两个值$0$和$2$，且$X$与$Y$独立，我们利用全概率公式： $$F_Z(z)=P\{X=0\}P\{Y\leq z\mid X=0\}+P\{X=2\}P\{Y\leq z-2\mid X=2\}.$$ 由独立性，条件概率等于无条件概率，即$P\{Y\leq z\mid X=0\}=P\{Y\leq z\}=F_Y(z)$，$P\{Y\leq z-2\mid X=2\}=P\{Y\leq z-2\}=F_Y(z-2)$。代入$P\{X=0\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}$，得： $$F_Z(z)=\frac{1}{2}F_Y(z)+\frac{1}{2}F_Y(z-2).$$ 由于$Y$的分布函数$F_Y(y)$仅在$y>0$时非零，具体为$F_Y(y)=1-e^{-y},\ y>0$；当$y\leq0$时$F_Y(y)=0$。因此需要分段讨论： - 当$z<0$时，$z<0$且$z-2<0$，故$F_Y(z)=0$，$F_Y(z-2)=0$，从而$F_Z(z)=0$。 - 当$0\leq z<2$时，$z\geq0$但$z-2<0$，故$F_Y(z)=1-e^{-z}$，$F_Y(z-2)=0$，从而$F_Z(z)=\frac{1}{2}(1-e^{-z})$。 - 当$z\geq2$时，$z\geq0$且$z-2\geq0$，故$F_Y(z)=1-e^{-z}$，$F_Y(z-2)=1-e^{-(z-2)}$，从而$F_Z(z)=\frac{1}{2}(1-e^{-z})+\frac{1}{2}(1-e^{-(z-2)})=1-\frac{1}{2}e^{-z}-\frac{1}{2}e^{-(z-2)}$。 因此，$Z$的分布函数表达式为： $$F_Z(z)=\begin{cases} 0, & z<0,\\ \frac{1}{2}(1-e^{-z}), & 0\leq z<2,\\ 1-\frac{1}{2}e^{-z}-\frac{1}{2}e^{-(z-2)}, & z\geq2. \end{cases}$$
公式：F_Z(z)=\frac{1}{2}F_Y(z)+\frac{1}{2}F_Y(z-2)
提示：利用全概率公式时，注意根据X的取值将事件分解，并利用独立性简化条件概率。
步骤 4/5
目标：分段讨论z的范围并计算分布函数
由步骤3已知，$Z = X + Y$，且$X$与$Y$相互独立，$X \sim U(0,1)$，$Y \sim U(0,2)$。分布函数$F_Z(z) = P\{Z \leq z\} = P\{X+Y \leq z\}$。利用全概率公式，$F_Z(z) = \int_{0}^{1} P\{Y \leq z - x\} f_X(x) \, dx$，其中$f_X(x)=1$（$0
公式：F_Z(z)=\begin{cases}0, & z<0 \\ \dfrac{z^2}{4}, & 0\leq z<1 \\ \dfrac{2z-1}{4}, & 1\leq z<2 \\ \dfrac{-z^2+6z-5}{4}, & 2\leq z<3 \\ 1, & z\geq 3\end{cases}
提示：画图辅助理解积分区域，注意z的分段点与X、Y取值范围的对应关系。
步骤 5/5
目标：对分布函数求导得到概率密度
已知分布函数 $F_Z(z)$ 为分段函数： $$F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z \leq 0, \\ \frac{1}{2}z^2, & 0 < z < 1, \\ \frac{1}{2}, & 1 \leq z \leq 2, \\ \frac{1}{2}z^2 - z + \frac{3}{2}, & 2 < z < 3, \\ 1, & z \geq 3. \end{cases}$$ 对 $F_Z(z)$ 在各连续区间内求导，得到概率密度函数 $f_Z(z)$。 1. 当 $0 < z < 1$ 时，$F_Z(z) = \frac{1}{2}z^2$，求导得 $f_Z(z) = \frac{d}{dz}\left(\frac{1}{2}z^2\right) = z$。 2. 当 $1 \leq z \leq 2$ 时，$F_Z(z) = \frac{1}{2}$ 为常数，求导得 $f_Z(z) = 0$。 3. 当 $2 < z < 3$ 时，$F_Z(z) = \frac{1}{2}z^2 - z + \frac{3}{2}$，求导得 $f_Z(z) = \frac{d}{dz}\left(\frac{1}{2}z^2 - z + \frac{3}{2}\right) = z - 1$。 注意：在 $z=1$ 和 $z=2$ 处，分布函数不可导（存在角点），但概率密度函数在单点处的取值不影响分布，因此通常定义 $f_Z(z)$ 在 $z=1$ 和 $z=2$ 处为任意值（如0）。在 $z=0$ 和 $z=3$ 处，分布函数连续但导数不连续，同样不影响。 因此，概率密度函数为： $$f_Z(z) = \begin{cases} z, & 0 < z < 1, \\ 0, & 1 \leq z \leq 2, \\ z - 1, & 2 < z < 3, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$ 验证：对 $f_Z(z)$ 在全实数轴上积分，应等于1。 $$\int_{-\infty}^{\infty} f_Z(z) dz = \int_0^1 z dz + \int_2^3 (z-1) dz = \left[\frac{1}{2}z^2\right]_0^1 + \left[\frac{1}{2}z^2 - z\right]_2^3 = \frac{1}{2} + \left(\frac{9}{2} - 3\right) - \left(2 - 2\right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2?$$ 发现积分结果为2，不等于1，说明原分布函数有误。重新检查原题步骤，正确分布函数应为： $$F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z \leq 0, \\ \frac{1}{2}z^2, & 0 < z < 1, \\ \frac{1}{2}, & 1 \leq z \leq 2, \\ \frac{1}{2}z^2 - z + 1, & 2 < z < 3, \\ 1, & z \geq 3. \end{cases}$$ 修正后求导： 当 $2 < z < 3$ 时，$F_Z(z) = \frac{1}{2}z^2 - z + 1$，求导得 $f_Z(z) = z - 1$。 验证积分： $$\int_0^1 z dz + \int_2^3 (z-1) dz = \frac{1}{2} + \left[\frac{1}{2}z^2 - z\right]_2^3 = \frac{1}{2} + \left(\frac{9}{2} - 3\right) - \left(2 - 2\right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2?$$ 仍然为2，说明区间 $2
公式：$$f_Z(z) = \begin{cases} z, & 0
提示：求导后务必验证积分是否为1，确保分布函数正确。

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