2017年考研数学一第2题

题目给出条件 $f(x)f'(x)>0$，这意味着对于任意 $x$，函数值 $f(x)$ 与其导数值 $f'(x)$ 的乘积恒为正。因此 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 必须同号，即要么同时为正，要么同时为负。 **情况一：** $f(x)>0$ 且 $f'(x)>0$。此时函数 $f(x)$ 恒正且严格单调递增。 **情况二：** $f(x)<0$ 且 $f'(x)<0$。此时函数 $f(x)$ 恒负且严格单调递减。 由于 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 同号，$f(x)$ 不可能改变符号，否则在变号点处 $f(x)=0$ 会导致乘积为零，与条件矛盾。因此 $f(x)$ 在整个定义区间上保持同号，且单调性一致。 进一步地，由 $f(x)f'(x)>0$ 可联想到 $\frac{d}{dx}[f(x)^2]=2f(x)f'(x)>0$，这说明 $f(x)^2$ 是严格单调递增函数。这一等价转化在后续步骤中可能用于分析极值或零点问题。 综上，条件 $f(x)f'(x)>0$ 等价于 $f(x)$ 恒正且递增，或恒负且递减。

根据题目条件，函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上具有二阶导数，且$f'(x)>0$（或$f'(x)<0$）的符号由$f(x)$的正负决定。我们需要分两种情况讨论$f(x)$的符号，并由此推导出$|f(1)|$与$|f(-1)|$的大小关系。 **情况一：假设$f(x)>0$** 若在区间$[-1,1]$上恒有$f(x)>0$，则根据已知条件，$f'(x)=[f(x)]^2>0$（因为正数的平方为正），因此$f'(x)>0$。这意味着$f(x)$在$[-1,1]$上严格单调递增。于是对于端点值，有$f(1)>f(-1)$。由于$f(x)>0$，绝对值等于本身，故$|f(1)|=f(1)$，$|f(-1)|=f(-1)$，从而$|f(1)|>|f(-1)|$。 **情况二：假设$f(x)<0$** 若在区间$[-1,1]$上恒有$f(x)<0$，则$f'(x)=[f(x)]^2>0$（负数的平方仍为正），因此$f'(x)>0$，$f(x)$仍然严格单调递增。于是$f(1)>f(-1)$。但此时$f(x)<0$，所以$f(1)$和$f(-1)$均为负数，取绝对值后，较大的负数其绝对值较小，即$|f(1)|=-f(1)$，$|f(-1)|=-f(-1)$。由$f(1)>f(-1)$两边乘以$-1$（不等号反向）得$-f(1)<-f(-1)$，即$|f(1)|<|f(-1)|$。这与情况一结论相反。 **注意**：题目中步骤概要给出的情况二结论为$|f(1)|>|f(-1)|$，但根据严格推导，当$f(x)<0$时，由于$f$单调递增，$f(1)>f(-1)$，取绝对值后应为$|f(1)|<|f(-1)|$。因此步骤概要中的结论可能存在笔误，实际推导应以上述为准。 综上，分情况讨论得出：当$f(x)>0$时，$|f(1)|>|f(-1)|$；当$f(x)<0$时，$|f(1)|<|f(-1)|$。

综合前两步的讨论，我们分别考虑了函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上的两种可能情形： **情形一：** 若$f(x)$为凸函数（即$f''(x)\geq 0$），则根据凸函数的性质，函数图像位于其弦的下方。特别地，连接点$(-1,f(-1))$和$(1,f(1))$的弦的方程为$y = \frac{f(1)-f(-1)}{2}(x+1)+f(-1)$。由于$f(0)=0$，代入$x=0$得$0 = \frac{f(1)-f(-1)}{2}+f(-1)$，整理得$f(1)+f(-1)=0$，即$f(1)=-f(-1)$。此时$|f(1)|=|f(-1)|$。但题目要求比较$|f(1)|$与$|f(-1)|$的大小，而此情形下两者相等，不满足严格不等式。然而，若$f(x)$为严格凸函数（$f''(x)>0$），则函数图像严格位于弦下方，此时$f(0)<\frac{f(1)+f(-1)}{2}$，代入$f(0)=0$得$0<\frac{f(1)+f(-1)}{2}$，即$f(1)+f(-1)>0$。结合$f(-1)<0$（由$f(0)=0$及凸性可推知），可得$f(1)>-f(-1)>0$，故$|f(1)|=f(1)>-f(-1)=|f(-1)|$。 **情形二：** 若$f(x)$为凹函数（即$f''(x)\leq 0$），则函数图像位于其弦的上方。类似地，连接$(-1,f(-1))$和$(1,f(1))$的弦方程同上。由$f(0)=0$代入弦方程得$0 = \frac{f(1)-f(-1)}{2}+f(-1)$，即$f(1)+f(-1)=0$。对于严格凹函数（$f''(x)<0$），有$f(0)>\frac{f(1)+f(-1)}{2}$，代入$f(0)=0$得$0>\frac{f(1)+f(-1)}{2}$，即$f(1)+f(-1)<0$。此时$f(-1)>0$（由凹性及$f(0)=0$可推知），故$f(1)<-f(-1)<0$，从而$|f(1)|=-f(1)>f(-1)=|f(-1)|$。 综合两种情形，无论$f(x)$是严格凸还是严格凹，均有$|f(1)|>|f(-1)|$成立。因此，选项(C)正确。

本步骤验证选项(A)、(B)、(D)的正确性。 首先分析选项(A)：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ 存在。由于$f(x)$和$g(x)$均为$x \to 0$时的无穷小，但题目未给出具体表达式，仅已知$f(x)$在$x=0$处可导且$f(0)=0$，$g(x)$在$x=0$处连续且$g(0)=0$。考虑反例：取$f(x)=x$，$g(x)=x\sin\frac{1}{x}$（补充定义$g(0)=0$），则$f'(0)=1$，$g(x)$在$x=0$处连续。但$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x\sin\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sin\frac{1}{x}}$，该极限不存在（因为$\sin\frac{1}{x}$振荡）。故选项(A)不一定成立。 选项(B)：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ 不存在。同样用反例：取$f(x)=x$，$g(x)=x$，则$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$存在。故选项(B)也不恒成立。 选项(D)：$f'(0)=0$。由已知条件$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，但导数不一定为零。例如$f(x)=x$，则$f'(0)=1\neq0$。故选项(D)与结论相反，排除。 综上，只有选项(C)恒成立，即$f'(0)=0$是$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$的充分必要条件。最终答案选(C)。