2018年考研数学一第11题

本题要求计算向量场 $\mathbf{F} = (xy, -yz, zx)$ 的旋度。旋度是向量分析中的一个重要概念，用于描述向量场的旋转程度。对于三维向量场 $\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$，其旋度的计算公式为： $$ \operatorname{rot} \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k}. $$ 首先，我们需要明确向量场 $\mathbf{F}$ 的三个分量： - $P = xy$， - $Q = -yz$， - $R = zx$。 接下来，我们分别计算旋度公式中的六个偏导数： 1. 计算 $\frac{\partial R}{\partial y}$：由于 $R = zx$，对 $y$ 求偏导时 $x$ 和 $z$ 视为常数，因此 $\frac{\partial R}{\partial y} = 0$。 2. 计算 $\frac{\partial Q}{\partial z}$：$Q = -yz$，对 $z$ 求偏导得 $\frac{\partial Q}{\partial z} = -y$。 3. 计算 $\frac{\partial P}{\partial z}$：$P = xy$，对 $z$ 求偏导得 $\frac{\partial P}{\partial z} = 0$。 4. 计算 $\frac{\partial R}{\partial x}$：$R = zx$，对 $x$ 求偏导得 $\frac{\partial R}{\partial x} = z$。 5. 计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$：$Q = -yz$，对 $x$ 求偏导得 $\frac{\partial Q}{\partial x} = 0$。 6. 计算 $\frac{\partial P}{\partial y}$：$P = xy$，对 $y$ 求偏导得 $\frac{\partial P}{\partial y} = x$。 将上述结果代入旋度公式： - 第一个分量：$\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = 0 - (-y) = y$。 - 第二个分量：$\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = 0 - z = -z$。 - 第三个分量：$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - x = -x$。 因此，旋度为： $$ \operatorname{rot} \mathbf{F} = y\mathbf{i} - z\mathbf{j} - x\mathbf{k}. $$ 至此，我们完成了旋度的计算。本步骤仅要求写出旋度公式并代入分量，后续步骤将进行验证或进一步分析。

根据旋度的定义，对于向量场 $\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$，其旋度为： $$\operatorname{rot}\mathbf{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf{k}.$$ 已知 $P = xz$，$Q = -xy$，$R = yz$。首先计算各偏导数： - $\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(yz) = z$， - $\frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(-xy) = 0$， - $\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(xz) = x$， - $\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(yz) = 0$， - $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-xy) = -y$， - $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(xz) = 0$。 代入旋度表达式： - 第一个分量：$\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = z - 0 = z$， - 第二个分量：$\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = x - 0 = x$， - 第三个分量：$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -y - 0 = -y$。 因此旋度为： $$\operatorname{rot}\mathbf{F} = z\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j} - y\,\mathbf{k}.$$

将点 $(1,1,0)$ 代入旋度表达式 $\operatorname{rot}\mathbf{F} = (0)\mathbf{i} + (z-1)\mathbf{j} + (1-y)\mathbf{k}$ 中。 首先，代入 $x=1$，$y=1$，$z=0$： - $\mathbf{i}$ 分量为 $0$，保持不变。 - $\mathbf{j}$ 分量为 $z-1 = 0 - 1 = -1$。 - $\mathbf{k}$ 分量为 $1-y = 1 - 1 = 0$。 因此，$$\operatorname{rot}\mathbf{F}(1,1,0) = 0\mathbf{i} + (-1)\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = -\mathbf{j}.$$ 注意：步骤概要中给出的结果为 $\mathbf{i} - \mathbf{k}$，但根据正确计算，实际结果应为 $-\mathbf{j}$。请核对旋度表达式是否正确。若旋度表达式为 $(1)\mathbf{i} + (z-1)\mathbf{j} + (1-y)\mathbf{k}$，则代入后得 $\mathbf{i} - \mathbf{k}$。 最终答案为 $\operatorname{rot}\mathbf{F}(1,1,0) = -\mathbf{j}$（或 $\mathbf{i} - \mathbf{k}$，取决于旋度表达式）。