2018年考研数学一第14题

已知事件$B$与$C$互不相容，即$BC = \emptyset$，因此$P(BC)=0$。由于$ABC \subseteq BC$，故$P(ABC)=0$。 需要化简的条件概率为$P(AC \mid AB \cup C)$。根据条件概率的定义： $$P(AC \mid AB \cup C) = \frac{P(AC \cap (AB \cup C))}{P(AB \cup C)}$$ 先计算分子$P(AC \cap (AB \cup C))$。由分配律： $$AC \cap (AB \cup C) = (AC \cap AB) \cup (AC \cap C) = ABC \cup AC$$ 因为$AC \cap C = AC$（因为$AC \subseteq C$），而$AC \cap AB = ABC$。 于是分子为$P(ABC \cup AC)$。由于$ABC \subseteq AC$，所以$ABC \cup AC = AC$，因此分子等于$P(AC)$。 分母为$P(AB \cup C)$，保持不变。 因此原条件概率化简为： $$P(AC \mid AB \cup C) = \frac{P(AC)}{P(AB \cup C)}$$ 此步骤利用了事件互不相容的性质以及集合运算的分配律和吸收律，将复杂的条件概率表达式转化为较为简单的形式，为后续计算奠定了基础。

本步骤的目标是计算概率 $P(AC)$，即事件 $A$ 与事件 $C$ 同时发生的概率。根据题目条件，事件 $A$ 与事件 $C$ 相互独立。由独立事件的定义，若两个事件相互独立，则它们同时发生的概率等于各自概率的乘积。因此有： $$P(AC) = P(A) \cdot P(C)$$ 已知 $P(A) = \frac{1}{2}$，代入上式得： $$P(AC) = \frac{1}{2} \cdot P(C)$$ 至此，分子 $P(AC)$ 已用 $P(C)$ 表示。后续步骤需要进一步确定 $P(C)$ 的值，才能得到 $P(AC)$ 的具体数值。

我们需要计算事件 $AB \cup C$ 的概率，即 $P(AB \cup C)$。根据概率的加法公式，对于任意两个事件 $X$ 和 $Y$，有 $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$。这里令 $X = AB$，$Y = C$，则 $X \cap Y = AB \cap C = ABC$。因此： $$ P(AB \cup C) = P(AB) + P(C) - P(ABC). $$ 由题目条件，事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P(A) = P(B) = \frac{1}{2}$，所以 $P(AB) = P(A)P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。 又因为事件 $C$ 与 $A$、$B$ 的关系是：$C$ 发生当且仅当 $A$ 与 $B$ 同时发生，即 $C = AB$，所以 $C$ 是 $AB$ 的子事件。那么 $ABC = AB \cap C = AB \cap AB = AB$，因此 $P(ABC) = P(AB) = \frac{1}{4}$。 但是，注意题目中给出的条件：$P(C) = \frac{1}{4}$，且 $C = AB$，所以 $P(ABC) = P(AB) = \frac{1}{4}$。代入加法公式： $$ P(AB \cup C) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}. $$ 然而，步骤概要中给出的公式是 $P(AB \cup C) = \frac{1}{4} + P(C)$，并声称 $P(ABC) = 0$，这与 $C = AB$ 的条件矛盾。实际上，根据题目条件，$C$ 就是 $AB$，所以 $ABC = AB$，概率不为零。因此，正确的计算应为： $$ P(AB \cup C) = P(AB) + P(C) - P(ABC) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}. $$ 所以分母 $P(AB \cup C) = \frac{1}{4}$。

根据前几步得到的条件概率表达式，代入已知条件$P(A|B)=\frac{1}{4}$，建立关于$P(C)$的方程。 由条件概率公式$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$，且已知$P(A\cap B)=\frac{1}{2}P(C)$，$P(B)=\frac{1}{4}+P(C)$，因此有： $$ \frac{\frac{1}{2}P(C)}{\frac{1}{4}+P(C)} = \frac{1}{4}. $$ 接下来解此方程。两边同时乘以分母$\frac{1}{4}+P(C)$（注意$P(C)\ge 0$，且分母不为零，故$P(C)\neq -\frac{1}{4}$，此条件自然满足），得： $$ \frac{1}{2}P(C) = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}+P(C)\right). $$ 展开右边： $$ \frac{1}{2}P(C) = \frac{1}{16} + \frac{1}{4}P(C). $$ 移项，将含$P(C)$的项移到左边，常数项移到右边： $$ \frac{1}{2}P(C) - \frac{1}{4}P(C) = \frac{1}{16}. $$ 合并同类项： $$ \frac{1}{4}P(C) = \frac{1}{16}. $$ 两边同时乘以4，解得： $$ P(C) = \frac{1}{4}. $$ **验证**：将$P(C)=\frac{1}{4}$代入原条件概率表达式： $$ P(A|B)=\frac{\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{8}\times 2 = \frac{1}{4}, $$ 与已知条件一致，故解正确。 因此，所求概率$P(C)=\frac{1}{4}$。