2018年考研数学一第1题

对于分段函数在分段点 $x=0$ 处的可导性判定，必须严格使用导数的定义。函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充要条件是：左导数 $f'_-(0)$ 与右导数 $f'_+(0)$ 都存在且相等。 左导数的定义为： $$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x}$$ 右导数的定义为： $$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x}$$ 若上述两个极限都存在且相等，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且导数值即为该公共极限值。若左右导数不相等或其中至少一个不存在，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。 注意：在计算左右导数时，必须代入分段函数在 $x=0$ 两侧的不同表达式，并确保 $f(0)$ 的值已知（通常由分段定义给出）。此外，不能直接对分段函数求导后再代入 $x=0$，因为分段点处的导数必须通过定义计算。

选项A给出的函数为$f(x)=|x|\sin|x|$。要判断$f(x)$在$x=0$处是否可导，需计算其在$x=0$处的左导数和右导数，并检查二者是否相等。 首先计算右导数。当$x>0$时，$|x|=x$，故$f(x)=x\sin x$。右导数为： $$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x\sin x-0}{x}=\lim_{x\to 0^+}\sin x=0.$$ 再计算左导数。当$x<0$时，$|x|=-x$，故$f(x)=(-x)\sin(-x)$。由于$\sin(-x)=-\sin x$，所以$f(x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x$。左导数为： $$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{x\sin x-0}{x}=\lim_{x\to 0^-}\sin x=0.$$ 左右导数均为0，因此$f(x)=|x|\sin|x|$在$x=0$处可导，且导数为0。故选项A是可导的。

选项B为函数$f(x)=|x|\sin\sqrt{|x|}$。要判断其在$x=0$处的可导性，需计算左右导数是否存在且相等。 首先，根据导数定义，$f(x)$在$x=0$处的导数为： $$ f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{|x|\sin\sqrt{|x|}}{x}. $$ 由于$f(0)=0$。 考虑右导数（$x\to 0^+$）：此时$x>0$，$|x|=x$，$ \sqrt{|x|}=\sqrt{x}$，因此 $$ \lim_{x\to 0^+}\frac{x\sin\sqrt{x}}{x}=\lim_{x\to 0^+}\sin\sqrt{x}=0. $$ 考虑左导数（$x\to 0^-$）：此时$x<0$，$|x|=-x$，$ \sqrt{|x|}=\sqrt{-x}$，因此 $$ \lim_{x\to 0^-}\frac{(-x)\sin\sqrt{-x}}{x}=\lim_{x\to 0^-}(-\sin\sqrt{-x})=0. $$ 左右导数均为0，相等，故$f(x)$在$x=0$处可导，且$f'(0)=0$。 因此，选项B对应的函数在$x=0$处可导。

选项C为 $f(x)=\cos|x|$，需判断其在 $x=0$ 处的可导性。由于函数含有绝对值，需分别计算左导数和右导数。 首先，当 $x>0$ 时，$|x|=x$，故 $f(x)=\cos x$；当 $x<0$ 时，$|x|=-x$，故 $f(x)=\cos(-x)=\cos x$（因为余弦函数是偶函数）。因此，实际上 $f(x)=\cos|x|=\cos x$ 对所有实数 $x$ 成立。但为了严谨，仍按定义计算左右导数。 右导数： $$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{\cos|x|-\cos 0}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\cos x-1}{x}$$ 利用重要极限 $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$，可得 $\lim_{x\to 0^+}\frac{\cos x-1}{x}=0$。 左导数： $$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{\cos|x|-\cos 0}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\cos(-x)-1}{x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\cos x-1}{x}$$ 同样，该极限也为0。 由于左右导数相等且均为0，故 $f(x)=\cos|x|$ 在 $x=0$ 处可导，且导数为0。因此选项C是可导的。

分析选项D：$f(x)=\cos\sqrt{|x|}$ 在 $x=0$ 处的可导性。 首先，$f(0)=\cos 0 = 1$。 计算左导数：当 $x<0$ 时，$|x|=-x$，$f(x)=\cos\sqrt{-x}$。左导数为 $$ f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{\cos\sqrt{-x}-1}{x}. $$ 令 $t=\sqrt{-x}$，则 $x=-t^2$，当 $x\to 0^-$ 时 $t\to 0^+$。于是 $$ f'_-(0)=\lim_{t\to 0^+}\frac{\cos t-1}{-t^2}=-\lim_{t\to 0^+}\frac{1-\cos t}{t^2}=-\frac12. $$ 计算右导数：当 $x>0$ 时，$|x|=x$，$f(x)=\cos\sqrt{x}$。右导数为 $$ f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{\cos\sqrt{x}-1}{x}. $$ 令 $u=\sqrt{x}$，则 $x=u^2$，当 $x\to 0^+$ 时 $u\to 0^+$。于是 $$ f'_+(0)=\lim_{u\to 0^+}\frac{\cos u-1}{u^2}=-\lim_{u\to 0^+}\frac{1-\cos u}{u^2}=-\frac12. $$ 注意：上述计算中，左导数和右导数都等于 $-\frac12$，因此左右导数相等，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且导数为 $-\frac12$。 （注：原题步骤目标中给出的左导数计算有误，正确结果为 $-\frac12$，而非 $0$。实际上，$\cos\sqrt{|x|}$ 在 $x=0$ 处是可导的。） 因此，选项D是可导的，不是不可导的选项。