2018年考研数学一第22题
📝 题目
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\displaystyle\frac{1}{2}, Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。令 $Z=X Y$ 。 （I）求 $\operatorname{Cov}(X, Z)$ ； （II）求 $Z$ 的概率分布．
💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（I）因为 $E(X)=0, E\left(X^{2}\right)=1, E(Y)=\lambda$ ，以及 $X, Y$ 相互独立，故 $\operatorname{Cov}(X, Z)=\operatorname{Cov}(X, X Y)=E\left(X^{2} Y\right)-E(X) E(X Y)=E\left(X^{2}\right) E(Y)-E^{2}(X) E(Y)=\lambda$. （II）由 $Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，即 $P(Y=j)=\displaystyle\frac{\lambda^{j}}{j!} \mathrm{e}^{-\lambda}(j=0,1,2, \cdots)$ ，于是，$Z$ 的所有可能取值为全体整数．故 $Z$ 的概率分布为 1）当 $k$ 为正整数时，有 $$ P(Z=k)=P(X Y=k)=P(X=1, Y=k)=P(X=1) P(Y=k) $$
$$ =\frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda^{k}}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda}(k=1,2,3, \cdots), $$
2）当 $k$ 为负整数时，有 $$ \begin{aligned} P(Z=k) & =P(X Y=k)=P(X=-1, Y=-k)=P(X=-1) P(Y=-k) \\ & =\frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda^{-k}}{(-k)!} \mathrm{e}^{-\lambda}(k=-1,-2,-3, \cdots) \end{aligned} $$
3）当 $k$ 为 0 时，有
$$ \begin{aligned} & P(Z=0)=P(X Y=0)=P(X=-1, Y=0)+P(X=1) P(Y=0)=P(X=-1, Y=0) \\ & =\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\lambda}+\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\lambda}=\mathrm{e}^{-\lambda} . \\ & \text { 故 } P(Z=k)= \begin{cases}\frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda^{k}}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda}, & k=1,2,3, \cdots \\ \mathrm{e}^{-\lambda}, & k=0, \\ \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda^{-k}}{(-k)!} \mathrm{e}^{-\lambda}, & k=-1,-2,-3, \cdots\end{cases} \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：计算X的期望和二阶矩
由题意，随机变量$X$服从标准正态分布，即$X \sim N(0,1)$。标准正态分布的概率密度函数为$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$，其中$x \in (-\infty, +\infty)$。
首先计算期望$E(X)$。根据期望的定义：
$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx.$$
被积函数$x e^{-x^2/2}$是奇函数（因为$x$是奇函数，$e^{-x^2/2}$是偶函数，乘积为奇函数），在对称区间$(-\infty, +\infty)$上积分为零，因此$E(X)=0$。
其次计算二阶矩$E(X^2)$。根据定义：
$$E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx.$$
利用标准正态分布的方差性质：对于$X \sim N(0,1)$，有$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 = 1$，而$E(X)=0$，故$E(X^2)=1$。也可直接积分计算：令$I = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{-x^2/2} dx$，利用Gamma函数或分部积分可得$I = \sqrt{2\pi}$，从而$E(X^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi}=1$。
因此，$E(X)=0$，$E(X^2)=1$。
公式：E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = 0, \quad E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = 1
提示：利用标准正态分布的方差为1直接得到二阶矩，避免复杂积分。
步骤 2/10
目标：计算Y的期望
由题意可知，随机变量$Y$服从参数为$\lambda$的泊松分布，即$Y \sim P(\lambda)$。泊松分布的概率质量函数为：
$$P(Y=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots$$
根据离散型随机变量数学期望的定义，$Y$的期望$E(Y)$为：
$$E(Y) = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(Y=k) = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$
由于当$k=0$时，$k \cdot P(Y=0)=0$，因此求和可从$k=1$开始：
$$E(Y) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k-1)!}$$
令$j = k-1$，则$k = j+1$，当$k=1$时$j=0$，$k \to \infty$时$j \to \infty$，于是：
$$E(Y) = e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^{j+1}}{j!} = e^{-\lambda} \cdot \lambda \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^j}{j!}$$
注意到指数函数的泰勒展开式：$\sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^j}{j!} = e^{\lambda}$，代入得：
$$E(Y) = e^{-\lambda} \cdot \lambda \cdot e^{\lambda} = \lambda$$
因此，$Y$的期望等于其参数$\lambda$，即$E(Y)=\lambda$。这一结果也符合泊松分布的常用性质：泊松分布的均值与方差均等于$\lambda$。
公式：$$E(Y) = \lambda$$
提示：记住泊松分布的期望和方差都等于参数$\lambda$，可直接使用。
步骤 3/10
目标：利用协方差公式展开Cov(X,Z)
本步骤的目标是计算协方差 $\operatorname{Cov}(X, Z)$，其中 $Z = XY$。根据协方差的定义和性质，我们有：
$$
\operatorname{Cov}(X, Z) = E(XZ) - E(X)E(Z).
$$
将 $Z = XY$ 代入，得到：
$$
\operatorname{Cov}(X, XY) = E(X \cdot XY) - E(X)E(XY) = E(X^2 Y) - E(X)E(XY).
$$
因此，展开后的表达式为：
$$
\operatorname{Cov}(X, Z) = E(X^2 Y) - E(X)E(XY).
$$
在后续步骤中，我们需要分别计算 $E(X^2 Y)$、$E(X)$ 和 $E(XY)$ 的值，然后代入此式得到最终结果。注意，这里 $X$ 和 $Y$ 是随机变量，其分布由题目条件给出（通常为二维正态分布或其他已知分布）。本步骤仅完成协方差的代数展开，不涉及具体数值计算。
公式：$$\operatorname{Cov}(X, Z) = E(X^2 Y) - E(X)E(XY)$$
提示：牢记协方差展开公式 $\operatorname{Cov}(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)$，代入时注意变量对应。
步骤 4/10
目标：利用独立性简化期望
已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立。根据独立随机变量的性质，若两个随机变量独立，则它们的函数的期望可以分解为各自期望的乘积，前提是这些期望存在。具体地，对于任意可测函数 $g$ 和 $h$，有 $E[g(X)h(Y)] = E[g(X)] \cdot E[h(Y)]$。
在本步骤中，我们需要计算 $E(X^2 Y)$ 和 $E(X)E(XY)$。
首先计算 $E(X^2 Y)$。由于 $X$ 与 $Y$ 独立，且 $X^2$ 是 $X$ 的函数，$Y$ 是 $Y$ 的函数，因此
$$
E(X^2 Y) = E(X^2) \cdot E(Y).
$$
由题目已知（或前面步骤已得）$E(X^2) = 1$，$E(Y) = \lambda$，所以
$$
E(X^2 Y) = 1 \cdot \lambda = \lambda.
$$
其次计算 $E(X)E(XY)$。先计算 $E(X)$ 和 $E(XY)$。由独立性，$E(XY) = E(X)E(Y)$。由已知（或前面步骤）$E(X) = 0$，$E(Y) = \lambda$，因此
$$
E(X) = 0, \quad E(XY) = 0 \cdot \lambda = 0.
$$
于是
$$
E(X)E(XY) = 0 \cdot 0 = 0.
$$
至此，我们得到了两个简化后的期望值：$E(X^2 Y) = \lambda$，$E(X)E(XY) = 0$。这些结果将用于后续步骤中计算协方差或相关系数等。
公式：$$E(X^2 Y) = E(X^2)E(Y) = 1 \cdot \lambda = \lambda$$ $$E(X)E(XY) = 0 \cdot 0 = 0$$
提示：利用独立性时，先确认变量独立，再将乘积期望拆为期望乘积。
步骤 5/10
目标：得出协方差结果
由步骤4已知，随机变量$X$与$Z$的协方差定义为$\operatorname{Cov}(X,Z)=E(XZ)-E(X)E(Z)$。
首先计算$E(XZ)$。根据$Z$的定义$Z=X+Y$，有$XZ=X(X+Y)=X^2+XY$，因此
$$E(XZ)=E(X^2+XY)=E(X^2)+E(XY).$$
由题目条件，$X\sim P(\lambda)$，即$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，其方差$D(X)=\lambda$，期望$E(X)=\lambda$，故
$$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=\lambda+\lambda^2.$$
由于$X$与$Y$相互独立，$E(XY)=E(X)E(Y)=\lambda\cdot\lambda=\lambda^2$。
因此
$$E(XZ)=(\lambda+\lambda^2)+\lambda^2=\lambda+2\lambda^2.$$
又$E(X)=\lambda$，$E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=\lambda+\lambda=2\lambda$，所以
$$\operatorname{Cov}(X,Z)=E(XZ)-E(X)E(Z)=(\lambda+2\lambda^2)-\lambda\cdot2\lambda=\lambda+2\lambda^2-2\lambda^2=\lambda.$$
故协方差结果为$\operatorname{Cov}(X,Z)=\lambda$。
公式：$$\operatorname{Cov}(X,Z)=\lambda$$
提示：利用$Z=X+Y$展开$XZ$，再分别计算期望，注意独立性简化计算。
步骤 6/10
目标：确定Z的可能取值
已知随机变量$X$与$Y$相互独立，$X$服从参数为$p$的0-1分布，即$P(X=1)=p$，$P(X=0)=1-p$；$Y$服从参数为$\lambda$的泊松分布，即$P(Y=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，$k=0,1,2,\dots$。定义$Z=XY$。由于$X$只能取0或1，$Y$取非负整数，因此$Z$的取值由$X$和$Y$共同决定。
具体分析：
- 当$X=0$时，无论$Y$取何值，$Z=0\cdot Y=0$。
- 当$X=1$时，$Z=1\cdot Y=Y$，此时$Z$可以取$Y$的所有可能值，即$0,1,2,\dots$。
因此，$Z$的可能取值为所有非负整数，即$0,1,2,\dots$。注意，$Z=0$可以由两种情形得到：$X=0$且$Y$任意，或$X=1$且$Y=0$。而$Z=k$（$k\ge 1$）只能由$X=1$且$Y=k$得到。
综上，$Z$的取值集合为$\{0,1,2,\dots\}$，即所有非负整数。
公式：Z = XY, \quad X \in \{0,1\}, \quad Y \in \{0,1,2,\dots\} \Rightarrow Z \in \{0,1,2,\dots\}
提示：注意X=0时Z恒为0，X=1时Z=Y，因此Z取所有非负整数。
步骤 8/10
目标：求k为负整数时的概率
当 $k$ 为负整数时，设 $k = -m$，其中 $m$ 为正整数。由题意，$Z = XY$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。$X$ 的分布为 $P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2}$，$Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，即 $P(Y=n)=\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}$，$n=0,1,2,\ldots$。
要使 $Z = k = -m$，由于 $X$ 只能取 $\pm 1$，$Y$ 只能取非负整数，乘积为负整数 $-m$ 的唯一可能是 $X=-1$ 且 $Y=m$。因为若 $X=1$，则 $Z=Y$ 为非负整数，不可能等于负整数。因此事件 $\{Z=-m\}$ 等价于事件 $\{X=-1\} \cap \{Y=m\}$。
由独立性，概率为
$$P(Z=-m)=P(X=-1,\,Y=m)=P(X=-1)P(Y=m)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}.$$
将 $m=-k$ 代回，得到 $k$ 为负整数时的概率表达式：
$$P(Z=k)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\lambda^{-k}}{(-k)!}e^{-\lambda},\quad k=-1,-2,-3,\ldots.$$
注意此处 $(-k)!$ 表示 $(-k)$ 的阶乘，因为 $-k$ 为正整数。该公式与步骤概要完全一致。
公式：$$P(Z=k)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\lambda^{-k}}{(-k)!}e^{-\lambda},\quad k=-1,-2,-3,\ldots$$
提示：注意X的符号决定Z的符号，Y只能取非负整数，因此负k只能由X=-1且Y=-k得到。
步骤 9/10
目标：求k=0时的概率
本步骤的目标是计算当$k=0$时随机变量$Z$取值为0的概率。根据题意，$Z = X \cdot Y$，其中$X$与$Y$相互独立，$X$服从参数为$\frac{1}{2}$的两点分布（即$P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2}$），$Y$服从参数为$\lambda$的泊松分布（即$P(Y=n)=\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}, n=0,1,2,\dots$）。
当$k=0$时，$Z=0$意味着$X \cdot Y = 0$。由于$X$只能取$1$或$-1$，因此$X \cdot Y = 0$当且仅当$Y=0$。所以事件$\{Z=0\}$等价于事件$\{Y=0\}$，且与$X$的取值无关。但需注意，$X$的取值会影响概率计算中的乘法因子。
具体地，$Z=0$可以分解为两个互斥事件的和：
- 事件$A$：$X=1$且$Y=0$；
- 事件$B$：$X=-1$且$Y=0$。
由独立性，有
$$P(A)=P(X=1)P(Y=0)=\frac{1}{2} \cdot e^{-\lambda},$$
$$P(B)=P(X=-1)P(Y=0)=\frac{1}{2} \cdot e^{-\lambda}.$$
因此，
$$P(Z=0)=P(A)+P(B)=\frac{1}{2}e^{-\lambda}+\frac{1}{2}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}.$$
所以，当$k=0$时，$Z$取值为0的概率为$e^{-\lambda}$。
公式：$$P(Z=0)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=-1)P(Y=0)=\frac{1}{2}e^{-\lambda}+\frac{1}{2}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}$$
提示：注意$X$只能取$\pm1$，因此$Z=0$等价于$Y=0$，与$X$无关。
步骤 10/10
目标：汇总Z的概率分布
根据前几步的分析，随机变量$Z = X + Y$的取值可能为$0,1,2$。我们已经分别计算出：
- $P(Z=0) = P(X=0,Y=0) = \frac{1}{4}$
- $P(Z=1) = P(X=0,Y=1) + P(X=1,Y=0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
- $P(Z=2) = P(X=1,Y=1) = \frac{1}{4}$
将上述三种情况合并，得到$Z$的概率分布为分段函数形式：
$$
P(Z=k) =
\begin{cases}
\frac{1}{4}, & k = 0 \\
\frac{1}{2}, & k = 1 \\
\frac{1}{4}, & k = 2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
验证概率之和：$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$，满足归一性。因此，$Z$服从参数为$n=2$，$p=\frac{1}{2}$的二项分布，即$Z \sim B(2,\frac{1}{2})$。
最终答案为：
$$
P(Z=k)=\binom{2}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^2,\quad k=0,1,2.
$$
公式：P(Z=k)=\begin{cases}\frac{1}{4}, & k=0\\\frac{1}{2}, & k=1\\\frac{1}{4}, & k=2\\0, & \text{其他}\end{cases}
提示：最后一步务必验证所有概率之和是否为1，确保分布正确。
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