2005年考研数学一第22题

首先定义随机变量$Z = 2X - Y$，其分布函数为$F_Z(z) = P\{Z \leq z\} = P\{2X - Y \leq z\}$。根据题目已知的联合密度函数$f(x,y)$的非零区域（假设为某有界区域$D$），将概率转化为对联合密度在满足$2x - y \leq z$的区域上的积分： $$F_Z(z) = \iint\limits_{2x - y \leq z} f(x,y) \, dxdy.$$ 具体地，设联合密度非零区域为$D = \{(x,y) \mid 0 < x < 1, \, 0 < y < 2\}$（此处根据原题条件），则需在$D$内对满足$2x - y \leq z$的部分积分。 将不等式改写为$y \geq 2x - z$。因此积分区域为：$x$从$0$到$1$，$y$从$\max(0, 2x - z)$到$2$，但需注意$y$的上限为$2$，且当$2x - z \geq 2$时积分区域为空。 于是分布函数为： $$F_Z(z) = \int_{0}^{1} \int_{\max(0, 2x - z)}^{2} f(x,y) \, dy \, dx.$$ 对$z$分段讨论： - 当$z < 0$时，$2x - z > 0$，且$2x - z \geq 2$可能成立，需具体分析； - 当$0 \leq z < 2$时，积分下限为$2x - z$（当$2x - z \geq 0$）或$0$（当$2x - z < 0$）； - 当$z \geq 2$时，$2x - z \leq 0$，积分下限为$0$，此时$F_Z(z)=1$。 求出$F_Z(z)$后，对$z$求导即得概率密度函数$f_Z(z) = \frac{d}{dz}F_Z(z)$。

根据题目中随机变量$X$与$Y$的分布以及它们之间的关系，我们需要求$Z = X + Y$的分布函数$F_Z(z)$。在利用卷积公式或直接积分法时，积分区域由$z$的取值决定。由于$X$与$Y$的联合密度$f(x,y)$仅在有限区域（例如$0 \le x \le 1, 0 \le y \le 2$）内非零，因此$z$的不同取值会导致积分区域与联合密度支撑集相交的部分不同。 首先，考虑$z < 0$的情况。此时，对于任意$x$，$y = z - x < 0$，而$Y$的取值范围是$[0,2]$，因此不存在任何$(x,y)$使得$x+y \le z$且$y \ge 0$，故$F_Z(z) = 0$。 其次，考虑$0 \le z < 2$的情况。此时，直线$x+y = z$与$y$轴交于$(0,z)$，与$x$轴交于$(z,0)$。由于$Y$的上限为2，且$z < 2$，积分区域为$x$从$0$到$z$，$y$从$0$到$z-x$。但还需注意$X$的范围是$[0,1]$，当$z < 1$时，$x$的上限$z$小于1，积分区域完全在$X$的支撑集内；当$1 \le z < 2$时，$x$的上限受$X$的支撑限制，实际$x$从$0$到$1$，$y$从$0$到$z-x$，但需保证$z-x \le 2$，由于$z<2$且$x\ge0$，$z-x \le 2$自动成立。因此，对于$0 \le z < 2$，积分区域为$\{(x,y): 0 \le x \le \min(1,z), 0 \le y \le z-x\}$，但$y$还需满足$y \le 2$，由于$z<2$且$x\ge0$，$z-x \le z < 2$，故$y$的上限自动小于2。 最后，考虑$z \ge 2$的情况。此时，直线$x+y = z$与$y$轴交于$(0,z)$，由于$z \ge 2$，$y$的上限可能超过2。积分区域为$x$从$0$到$1$，$y$从$0$到$\min(2, z-x)$。当$z \ge 3$时，$z-x \ge 2$对所有$x \in [0,1]$成立，故$y$的上限恒为2；当$2 \le z < 3$时，存在$x$使得$z-x < 2$，需分段处理。 综上，$z$的取值分为三个区间：$z<0$，$0 \le z < 2$，$z \ge 2$。其中$z \ge 2$还可细分为$2 \le z < 3$和$z \ge 3$，但本步骤仅需划分主要区间。

当 $z<0$ 时，我们需要计算随机变量 $Z = 2X - Y$ 的分布函数 $F_Z(z) = P\{2X - Y \leq z\}$。根据题意，二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数 $f(x,y)$ 仅在某个有限区域（例如三角形或矩形区域）内非零，且该区域位于第一象限或坐标轴附近。具体地，由题目条件可知，联合密度非零区域为 $0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 2$ 内的某个子区域（例如 $0 \leq y \leq 2x$ 或类似）。对于 $z<0$，不等式 $2x - y \leq z$ 等价于 $y \geq 2x - z$。由于 $z<0$，有 $-z > 0$，因此 $2x - z > 2x$，即直线 $y = 2x - z$ 位于直线 $y = 2x$ 的上方。而联合密度非零区域中 $y$ 的最大可能取值受限于 $y \leq 2$（或其它上界），且 $x$ 的范围为 $[0,1]$。在 $x \in [0,1]$ 上，$2x - z \geq -z > 0$，且当 $x=0$ 时 $y = -z > 0$，当 $x=1$ 时 $y = 2 - z > 2$。因此，对于所有 $x \in [0,1]$，直线 $y = 2x - z$ 均位于联合密度非零区域的上方（即该区域完全位于直线下方）。这意味着满足 $2x - y \leq z$ 的点 $(x,y)$ 必须位于直线 $y = 2x - z$ 的上方，但联合密度非零区域全部位于该直线的下方，因此两个区域没有交集。于是，事件 $\{2X - Y \leq z\}$ 的概率为零，即 $F_Z(z) = 0$。综上，当 $z<0$ 时，分布函数 $F_Z(z) = 0$。

当 $0 \leq z < 2$ 时，我们需要计算 $Z = X + Y$ 的分布函数 $F_Z(z) = P\{Z \leq z\}$。已知 $(X,Y)$ 在区域 $D = \{(x,y) \mid 0 \leq x \leq 1,\, 0 \leq y \leq 2x\}$ 上服从均匀分布，其联合概率密度函数为 $f(x,y) = 1$（因为区域面积为1）。 采用补集法，即 $F_Z(z) = 1 - P\{Z > z\}$。事件 $\{Z > z\}$ 对应于 $x + y > z$，在区域 $D$ 内，该事件发生的区域为 $\{(x,y) \in D \mid y > z - x\}$。由于 $0 \leq z < 2$，且 $y$ 的上界为 $2x$，下界为 $0$，因此 $y > z - x$ 与 $y \leq 2x$ 的交集非空的条件是 $z - x < 2x$，即 $x > z/3$。但注意，在补集法中，我们直接对 $x$ 从 $z/2$ 到 $1$ 积分，因为当 $x \geq z/2$ 时，$z - x \leq x \leq 2x$，所以 $y$ 的下限为 $0$，上限为 $2x - z$（由 $y > z - x$ 且 $y \leq 2x$ 推出 $y$ 的取值范围为 $0 \leq y \leq 2x - z$）。 因此， $$ P\{Z > z\} = \int_{x=z/2}^{1} \int_{y=0}^{2x - z} 1 \, dy \, dx. $$ 先对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{2x - z} dy = 2x - z. $$ 再对 $x$ 积分： $$ \int_{z/2}^{1} (2x - z) \, dx = \left[ x^2 - zx \right]_{z/2}^{1} = (1 - z) - \left( \frac{z^2}{4} - \frac{z^2}{2} \right) = 1 - z + \frac{z^2}{4}. $$ 于是 $$ F_Z(z) = 1 - \left(1 - z + \frac{z^2}{4}\right) = z - \frac{z^2}{4}. $$ 因此，当 $0 \leq z < 2$ 时，分布函数为 $F_Z(z) = z - \frac{z^2}{4}$。

当 $z \geq 2$ 时，考虑事件 $\{2X - Y \leq z\}$。由于随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合密度非零区域为 $0 < x < 1$，$0 < y < 2$，在该区域内 $2X - Y$ 的取值范围为：$2 \cdot 0 - 2 = -2$ 到 $2 \cdot 1 - 0 = 2$，即 $2X - Y \in (-2, 2)$。因此，对于任意 $z \geq 2$，整个联合密度非零区域都满足 $2X - Y \leq z$，即事件 $\{2X - Y \leq z\}$ 必然发生。所以分布函数 $F_Z(z) = P(2X - Y \leq z) = 1$。 具体地，$F_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, I_{\{2x-y \leq z\}} \, dy \, dx$。当 $z \geq 2$ 时，指示函数 $I_{\{2x-y \leq z\}}$ 在整个联合密度非零区域上恒等于1，因此积分等于联合密度在整个非零区域上的积分，即 $\int_0^1 \int_0^2 \frac{1}{2} \, dy \, dx = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$。故 $F_Z(z) = 1$。

由第9步已求得分布函数$F_Z(z)$的分段表达式： 当$z \leq 0$时，$F_Z(z)=0$； 当$0 < z < 2$时，$F_Z(z)=z - \frac{z^2}{4}$； 当$z \geq 2$时，$F_Z(z)=1$。 概率密度函数$f_Z(z)$是分布函数$F_Z(z)$的导数（在可导点处），即$f_Z(z)=\frac{d}{dz}F_Z(z)$。 分段求导如下： 1. 当$z < 0$时，$F_Z(z)=0$，故$f_Z(z)=0$。 2. 当$0 < z < 2$时，$F_Z(z)=z - \frac{z^2}{4}$，求导得： $$f_Z(z)=\frac{d}{dz}\left(z - \frac{z^2}{4}\right)=1 - \frac{2z}{4}=1 - \frac{z}{2}.$$ 3. 当$z > 2$时，$F_Z(z)=1$，故$f_Z(z)=0$。 在分段点$z=0$和$z=2$处，分布函数连续但不可导（导数左右极限不相等），通常定义概率密度在这些点取任意值（如0）不影响概率计算。因此，最终概率密度函数为： $$f_Z(z)=\begin{cases} 1 - \frac{z}{2}, & 0 < z < 2, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$ 该密度函数在区间$(0,2)$上线性递减，从$z=0$处的$1$下降到$z=2$处的$0$，且满足归一化条件： $$\int_{-\infty}^{\infty}f_Z(z)dz=\int_0^2\left(1-\frac{z}{2}\right)dz=\left[z-\frac{z^2}{4}\right]_0^2=(2-1)-0=1.$$

整理前面各步得到的边缘概率密度函数，写出最终的分段表达式。 首先，随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f_X(x)$ 由联合密度 $f(x,y)$ 对 $y$ 积分得到。由于 $f(x,y)$ 在区域 $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 2$ 上非零，且 $f(x,y) = \frac{1}{2}$ 当 $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 2$，因此 $$ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy = \int_0^2 \frac{1}{2} \, dy = 1, \quad 0 \le x \le 1. $$ 当 $x$ 不在 $[0,1]$ 内时，$f_X(x)=0$。所以 $$ f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 \le x \le 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 其次，随机变量 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$ 由联合密度 $f(x,y)$ 对 $x$ 积分得到。同样，在 $0 \le y \le 2$ 时，$x$ 的取值范围是 $0 \le x \le 1$，因此 $$ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx = \int_0^1 \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2}, \quad 0 \le y \le 2. $$ 当 $y$ 不在 $[0,2]$ 内时，$f_Y(y)=0$。所以 $$ f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 \le y \le 2, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 最后，随机变量 $Z = X+Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 由卷积公式求得。由于 $X$ 和 $Y$ 独立，$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx$。$f_X(x)$ 在 $[0,1]$ 上为 $1$，$f_Y(z-x)$ 在 $0 \le z-x \le 2$ 即 $z-2 \le x \le z$ 上为 $\frac{1}{2}$，因此被积函数非零的条件是 $x$ 同时满足 $0 \le x \le 1$ 和 $z-2 \le x \le z$。积分区间为 $[\max(0, z-2), \min(1, z)]$。 分情况讨论： - 当 $z < 0$ 时，区间为空，$f_Z(z)=0$。 - 当 $0 \le z < 1$ 时，$\max(0, z-2)=0$，$\min(1, z)=z$，积分区间 $[0,z]$，$f_Z(z) = \int_0^z 1 \cdot \frac{1}{2} \, dx = \frac{z}{2}$。 - 当 $1 \le z < 2$ 时，$\max(0, z-2)=0$，$\min(1, z)=1$，积分区间 $[0,1]$，$f_Z(z) = \int_0^1 \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2}$。 - 当 $2 \le z \le 3$ 时，$\max(0, z-2)=z-2$，$\min(1, z)=1$，积分区间 $[z-2,1]$，$f_Z(z) = \int_{z-2}^1 \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2}(3-z)$。 - 当 $z > 3$ 时，区间为空，$f_Z(z)=0$。 因此 $$ f_Z(z) = \begin{cases} \frac{z}{2}, & 0 \le z < 1, \\ \frac{1}{2}, & 1 \le z < 2, \\ \frac{3-z}{2}, & 2 \le z \le 3, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 最终答案为上述三个分段函数。