2020年考研数学一第14题

首先，根据协方差的定义，对于随机变量 $X$ 和 $Y$，协方差的计算公式为： $$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$ 因此，要计算协方差，我们需要先求出三个期望值：$E(X)$、$E(Y)$ 和 $E(XY)$。 接下来，根据题目给出的条件，$X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，即 $X\sim P(\lambda)$，其概率分布为： $$P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\quad k=0,1,2,\dots$$ 而 $Y$ 与 $X$ 的关系为：$Y=2X+1$。 由于 $Y$ 是 $X$ 的线性函数，我们可以利用期望的线性性质直接计算 $E(Y)$： $$E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1$$ 对于泊松分布，已知 $E(X)=\lambda$，所以 $E(Y)=2\lambda+1$。 接下来计算 $E(XY)$。因为 $Y=2X+1$，所以 $XY=X(2X+1)=2X^2+X$。于是： $$E(XY)=E(2X^2+X)=2E(X^2)+E(X)$$ 对于泊松分布，二阶矩 $E(X^2)=\lambda+\lambda^2$（因为方差 $D(X)=\lambda$，且 $E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=\lambda+\lambda^2$）。因此： $$E(XY)=2(\lambda+\lambda^2)+\lambda=2\lambda+2\lambda^2+\lambda=3\lambda+2\lambda^2$$ 至此，我们已经得到了 $E(X)=\lambda$，$E(Y)=2\lambda+1$，$E(XY)=3\lambda+2\lambda^2$。下一步只需将这些值代入协方差公式即可求出 $\operatorname{Cov}(X,Y)$。

已知随机变量 $X$ 在区间 $(-\pi/2, \pi/2)$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\pi}$（$x \in (-\pi/2, \pi/2)$），其他处为 $0$。 首先计算 $E(X)$： $$E(X) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \cdot \frac{1}{\pi} \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \, dx.$$ 被积函数 $x$ 是奇函数，在对称区间上的积分为 $0$，因此 $E(X)=0$。 其次计算 $E(Y)$，其中 $Y = \sin X$： $$E(Y) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin x \cdot \frac{1}{\pi} \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin x \, dx.$$ $\sin x$ 也是奇函数，在对称区间上积分为 $0$，故 $E(Y)=0$。 最后计算 $E(XY) = E(X \sin X)$： $$E(XY) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \sin x \cdot \frac{1}{\pi} \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \sin x \, dx.$$ 被积函数 $x \sin x$ 是偶函数（因为 $x$ 奇，$\sin x$ 奇，乘积为偶），因此 $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \sin x \, dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} x \sin x \, dx.$$ 使用分部积分法：令 $u = x$，$dv = \sin x \, dx$，则 $du = dx$，$v = -\cos x$，于是 $$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C.$$ 代入上下限： $$\int_{0}^{\pi/2} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_{0}^{\pi/2} = \left( -\frac{\pi}{2} \cdot 0 + 1 \right) - (0 + 0) = 1.$$ 因此 $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \sin x \, dx = 2 \times 1 = 2,$$ 从而 $$E(XY) = \frac{1}{\pi} \times 2 = \frac{2}{\pi}.$$ 综上，$E(X)=0$，$E(Y)=0$，$E(XY)=\frac{2}{\pi}$。

本步骤是求解协方差的最后一步，核心是代入协方差公式 $\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。 首先，回顾前两步已求得的期望值： - 由题目条件可知，随机变量 $X$ 与 $Y$ 的联合分布或边缘分布已给出，计算得 $E(X)=0$，$E(Y)=0$。 - 同时，已求得 $E(XY)=\frac{2}{\pi}$。 现在，将上述数值代入协方差公式： $$ \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{2}{\pi}-0\times0=\frac{2}{\pi}. $$ 由于 $E(X)=0$ 且 $E(Y)=0$，因此 $E(X)E(Y)=0$，协方差直接等于 $E(XY)$。 最终结果为 $\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{2}{\pi}$。 验证：协方差的正负反映了两个随机变量的线性相关方向，此处为正数，表明 $X$ 与 $Y$ 呈正相关。该结果与题目所给分布的性质一致。