2020年考研数学一第1题

首先，选项(A)对应的无穷小量为 $\int_0^{x} (e^{t^2} - 1) \, dt$，其中 $x \to 0^+$。我们需要确定当 $x \to 0^+$ 时该积分的主部阶数。 当 $t \to 0$ 时，利用指数函数的泰勒展开：$e^{t^2} = 1 + t^2 + \frac{t^4}{2!} + \cdots$，因此 $e^{t^2} - 1 \sim t^2$（即 $e^{t^2} - 1$ 与 $t^2$ 是等价无穷小）。 于是，被积函数在 $t=0$ 附近的行为由 $t^2$ 主导。对 $t^2$ 从 $0$ 到 $x$ 积分得： $$ \int_0^x t^2 \, dt = \frac{1}{3} x^3. $$ 由于 $e^{t^2} - 1$ 与 $t^2$ 是等价无穷小，根据积分比较定理，当 $x \to 0^+$ 时， $$ \int_0^x (e^{t^2} - 1) \, dt \sim \int_0^x t^2 \, dt = \frac{1}{3} x^3. $$ 因此，该无穷小量的主部为 $\frac{1}{3} x^3$，其阶数为 $3$（即关于 $x$ 的 $3$ 阶无穷小）。 注意：这里 $x \to 0^+$ 保证了积分上限趋于 $0$，且被积函数在 $[0,x]$ 上非负，因此等价关系成立。

分析选项(B)的无穷小阶数。选项(B)为 $\int_0^x \ln(1+\sqrt{t^3})\,dt$，其中 $x \to 0^+$。 首先，考虑被积函数 $\ln(1+\sqrt{t^3})$ 在 $t \to 0^+$ 时的等价无穷小。由于 $\sqrt{t^3} = t^{3/2}$，且当 $u \to 0$ 时 $\ln(1+u) \sim u$，因此 $$ \ln(1+\sqrt{t^3}) \sim \sqrt{t^3} = t^{3/2}, \quad t \to 0^+. $$ 于是，积分 $\int_0^x \ln(1+\sqrt{t^3})\,dt$ 在 $x \to 0^+$ 时的主部可由等价无穷小替换得到： $$ \int_0^x \ln(1+\sqrt{t^3})\,dt \sim \int_0^x t^{3/2}\,dt = \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} \right]_0^x = \frac{2}{5} x^{5/2}. $$ 因此，当 $x \to 0^+$ 时，选项(B)的无穷小阶数为 $\frac{5}{2}$，即2.5阶。

选项(C)为 $\int_0^{\sin x} \sin(t^2) \, dt$。当 $x \to 0^+$ 时，上限 $\sin x \sim x$，因此积分上限趋于 $0$。被积函数 $\sin(t^2)$ 在 $t \to 0$ 时，利用等价无穷小 $\sin(t^2) \sim t^2$。于是，当 $x \to 0^+$ 时，有 $$ \int_0^{\sin x} \sin(t^2) \, dt \sim \int_0^{x} t^2 \, dt = \frac{1}{3} x^3. $$ 因此，该无穷小的阶数为 $3$。

分析选项(D)：$\int_0^{1-\cos x} \sqrt{\sin^3 t} \, dt$ 当 $x \to 0^+$ 时的无穷小阶数。 首先处理积分上限：当 $x \to 0^+$ 时，$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$。 其次处理被积函数：当 $t \to 0^+$ 时，$\sin t \sim t$，因此 $\sin^3 t \sim t^3$，从而 $\sqrt{\sin^3 t} \sim t^{3/2}$。 于是，当 $x \to 0^+$ 时，积分近似为： $$ \int_0^{\frac{1}{2}x^2} t^{3/2} \, dt = \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} \right]_0^{\frac{1}{2}x^2} = \frac{2}{5} \left( \frac{1}{2}x^2 \right)^{5/2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2^{5/2}} x^5 = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4\sqrt{2}} x^5 = \frac{1}{10\sqrt{2}} x^5. $$ 更精确地，考虑 $\sqrt{\sin^3 t} = (\sin t)^{3/2}$，利用 $\sin t \sim t$ 以及 $1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$，可得： $$ \int_0^{1-\cos x} \sqrt{\sin^3 t} \, dt \sim \int_0^{\frac{x^2}{2}} t^{3/2} \, dt = \frac{2}{5} \left( \frac{x^2}{2} \right)^{5/2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{x^5}{2^{5/2}} = \frac{x^5}{5 \cdot 2^{3/2}} = \frac{x^5}{5 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{x^5}{10\sqrt{2}}. $$ 因此，该无穷小的主要部分为 $\frac{1}{10\sqrt{2}} x^5$，阶数为 $5$。 注意：选项(D)的阶数为5，而题目要求找出阶数最低的选项，故(D)不是最低阶。

在前四步中，我们分别求出了四个选项对应的无穷小量的阶数。具体结果如下： - 选项A：$\int_0^{x^2} \sin(t^2) \, dt$ 的阶数为 $3$。 - 选项B：$\int_0^{x} \ln(1+\sqrt{t}) \, dt$ 的阶数为 $\frac{5}{2}$（即 $2.5$）。 - 选项C：$\int_0^{\sin x} \sqrt{1+t^2} \, dt - \sin x$ 的阶数为 $3$。 - 选项D：$\int_0^{1-\cos x} \sqrt[3]{t^2} \, dt$ 的阶数为 $5$。 现在需要比较这四个阶数的大小，以确定当 $x \to 0^+$ 时哪个选项是最高阶的无穷小。阶数越大，无穷小趋于零的速度越快，即“更高阶”。 比较各阶数： - A：$3$ - B：$2.5$ - C：$3$ - D：$5$ 显然，$5 > 3 > 2.5$，因此选项D的阶数最高。 最终答案验证： - 选项D的阶数为 $5$，而其他选项的阶数均不超过 $3$，故D是最高阶无穷小。 因此，本题的正确选项为 **D**。