2020年考研数学一第4题
📝 题目
设 $R$ 为幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径，$r$ 是实数，则 () ．
A
当 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时，$|r| \geqslant R$
B
当 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛时，$|r| \leqslant R$
C
当 $|r| \geqslant R$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a{ }_{2 n} r^{2 n}$ 发散
D
当 $|r| \leqslant R$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛
💡 答案解析
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**解析**:
（A）
由题知当 $|r|\lt R$ 时，幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 收敛，所以当 $|r|\lt R$ 时，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛。因其逆否命题也成立，所以若当 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时，$|r| \geq R$ 。故选（A）。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾幂级数收敛半径性质
首先，回顾幂级数收敛半径的基本性质。对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，其收敛半径 $R$ 定义为满足级数收敛的 $|x|$ 的上确界。具体地，由收敛半径的定义可知：当 $|x| < R$ 时，级数绝对收敛；当 $|x| > R$ 时，级数发散；当 $|x| = R$ 时，级数可能收敛也可能发散，需要单独判断。收敛半径 $R$ 可以通过根值判别法或比值判别法求得，即 $R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$ 或 $R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$（若极限存在）。本题中，已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$，则对于任意 $x$ 满足 $|x| < R$，级数绝对收敛，从而其和函数 $S(x)$ 在 $(-R, R)$ 内解析，可以逐项求导和逐项积分，且求导或积分后的幂级数收敛半径不变。这一性质是后续步骤中判断幂级数收敛区间以及进行运算的基础。特别地，若题目中给出 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $x=1$ 在收敛区间内，故收敛半径 $R \geq 1$；反之，若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 发散，则 $R \leq 1$。这些关系在分析幂级数在端点处的收敛性时至关重要。
公式：R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \quad \text{或} \quad R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|
提示：注意收敛半径只由系数决定，与 $x$ 的具体取值无关。
步骤 2/5
目标：建立子级数与原级数的联系
设原幂级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，其收敛半径为 $R$。考虑子级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n} r^{2n}$，其中 $r>0$。令 $x = r^2$，则子级数可写为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n} (r^2)^n$。注意到原级数在 $x = r^2$ 处的值为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (r^2)^n$，而子级数只取原级数中下标为偶数的项。因此，子级数 $\sum a_{2n} r^{2n}$ 是原级数在 $x=r^2$ 处的部分项（仅保留偶数次幂）。根据幂级数收敛半径的定义，若 $|r^2| < R$，则原级数在 $x=r^2$ 处绝对收敛，从而其子级数（部分项）也绝对收敛；若 $|r^2| > R$，则原级数发散，但子级数可能仍收敛（例如当奇数次幂项抵消时）。然而，由收敛半径的性质可知，子级数的收敛半径 $R_{\text{sub}}$ 满足 $R_{\text{sub}} = \sqrt{R}$，因为 $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{2n}|} = \left(\limsup_{n\to\infty} \sqrt[2n]{|a_{2n}|}\right)^2 = \frac{1}{R^2}$ 的平方根关系。因此，子级数 $\sum a_{2n} r^{2n}$ 的收敛性受原级数收敛半径 $R$ 的约束：当 $r < \sqrt{R}$ 时子级数收敛，当 $r > \sqrt{R}$ 时子级数发散。这一联系是后续利用原级数收敛半径推导子级数收敛域的关键。
公式：$$\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n} r^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n} (r^2)^n, \quad R_{\text{sub}} = \sqrt{R}$$
提示：将子级数中的 $r^{2n}$ 视为 $(r^2)^n$，转化为关于 $t=r^2$ 的幂级数，再与原级数比较。
步骤 3/5
目标：推导子级数收敛的条件
设原级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，其收敛半径为 $R$。已知当 $|x| < R$ 时级数绝对收敛，当 $|x| > R$ 时级数发散。现在考虑子级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n r^{2n}$，其中 $r$ 为实数。令 $t = r^2$，则子级数化为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n$。根据幂级数的收敛性质，该级数在 $|t| < R$ 时收敛，即 $|r^2| < R$。由于 $r^2 \ge 0$，条件等价于 $r^2 < R$，即 $|r| < \sqrt{R}$。因此，若 $|r| < \sqrt{R}$，则 $|r^2| < R$，原级数在 $x = r^2$ 处收敛，从而子级数收敛。反之，若 $|r| \ge \sqrt{R}$，则 $|r^2| \ge R$，子级数可能发散。特别地，当 $R$ 为有限正数时，子级数的收敛半径是 $\sqrt{R}$。若 $R = +\infty$，则子级数对任意 $r$ 收敛。若 $R = 0$，则子级数仅当 $r = 0$ 时收敛。综上，子级数收敛的充分必要条件是 $|r| < \sqrt{R}$（当 $R$ 有限正数时），或 $r$ 任意（当 $R = +\infty$ 时），或 $r = 0$（当 $R = 0$ 时）。
公式：子级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n r^{2n}$ 收敛当且仅当 $|r| < \sqrt{R}$，其中 $R$ 为原级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径。
提示：注意变量代换 $t=r^2$，子级数的收敛半径是原级数收敛半径的平方根。
步骤 4/5
目标：利用逆否命题判断选项
本步骤的核心是利用逆否命题来判定正确选项。已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$，且 $|r| < R$ 时级数绝对收敛，$|r| > R$ 时级数发散。原命题为：“若 $|r| < R$，则级数收敛”，其逆否命题是：“若级数发散，则 $|r| \geq R$”。这里“子级数发散”是指存在某个子列（即部分项构成的级数）发散，则根据逆否命题，该子级数对应的 $r$ 必须满足 $|r| \geq R$。因此，选项 (A) “若子级数发散，则 $|r| \geq R$” 正确。
对于其他选项，可以通过反例排除。例如，考虑幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$，其收敛半径 $R=1$。取子级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}$，当 $x=1$ 时子级数发散，但 $|r|=1=R$，不满足 $|r|>R$，故选项 (B) 错误。又取 $x=-1$，子级数 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{2n} = \sum 1$ 发散，但 $|r|=1=R$，不满足 $|r|
公式：\text{逆否命题：若子级数发散，则 } |r| \geq R
提示：牢记逆否命题与原命题等价，注意边界点 $|r|=R$ 的情况。
步骤 5/5
目标：验证其他选项错误
为了验证选项(B)、(C)、(D)的错误性，我们构造反例。考虑幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，其收敛半径为 $R$。取 $r=R$，即考察 $x=R$ 处的级数行为。
**选项(B)反例**：设 $a_n = \frac{1}{n}$，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛半径 $R=1$。在 $x=1$ 处，级数成为调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，发散。但取子级数（例如只取 $n$ 为2的幂次项）$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}$，该子级数收敛。因此选项(B)说“若 $\sum a_n R^n$ 发散，则任何子级数都发散”是错误的。
**选项(C)反例**：设 $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n}$ 的收敛半径 $R=1$。在 $x=1$ 处，级数成为交错调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，收敛。但取子级数（例如只取 $n$ 为奇数项）$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{-1}{2k+1}$，该子级数发散（负的调和级数）。因此选项(C)说“若 $\sum a_n R^n$ 收敛，则任何子级数都收敛”是错误的。
**选项(D)反例**：设 $a_n = \frac{1}{n}$，同(B)中反例，在 $x=1$ 处原级数发散。取子级数（例如只取 $n$ 为偶数项）$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k}$，该子级数发散（调和级数的一半，仍发散）。但选项(D)声称“若 $\sum a_n R^n$ 发散，则存在子级数收敛”，而本例中所有非平凡子级数（如取所有项）仍发散，因此(D)错误。
综上，选项(B)、(C)、(D)均不成立，故正确选项为(A)。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \quad \text{发散}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \quad \text{收敛}
提示：构造反例时常用调和级数和交错调和级数，注意端点处级数的敛散性。
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