2021年考研数学一第13题

原方程为欧拉方程：$x^2 y'' + xy' - 4y = 0$。令 $x = e^t$，则 $t = \ln x$。首先将 $y'$ 和 $y''$ 用关于 $t$ 的导数表示。由链式法则： $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \dot{y},$$ 其中 $\dot{y} = \frac{dy}{dt}$。再求二阶导数： $$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} \dot{y}\right) = -\frac{1}{x^2} \dot{y} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{dx}(\dot{y}).$$ 而 $\frac{d}{dx}(\dot{y}) = \frac{d}{dt}(\dot{y}) \cdot \frac{dt}{dx} = \ddot{y} \cdot \frac{1}{x}$，其中 $\ddot{y} = \frac{d^2 y}{dt^2}$。代入得： $$y'' = -\frac{1}{x^2} \dot{y} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \ddot{y} = \frac{1}{x^2}(\ddot{y} - \dot{y}).$$ 将 $y'$ 和 $y''$ 代入原方程： $$x^2 \cdot \frac{1}{x^2}(\ddot{y} - \dot{y}) + x \cdot \frac{1}{x} \dot{y} - 4y = 0,$$ 即 $$(\ddot{y} - \dot{y}) + \dot{y} - 4y = 0,$$ 化简得 $\ddot{y} - 4y = 0$。因此原欧拉方程化为关于 $t$ 的常系数线性齐次微分方程： $$\frac{d^2 y}{dt^2} - 4y = 0.$$

本步骤的目标是求解二阶常系数线性齐次微分方程。由第一步得到的方程形式为 $y'' - 4y = 0$，这是一个典型的常系数线性齐次微分方程。求解此类方程的标准方法是写出其特征方程。 对于微分方程 $y'' - 4y = 0$，设 $y = e^{\lambda t}$，代入后得到特征方程： $$ \lambda^2 - 4 = 0 $$ 解这个二次方程： $$ \lambda^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \pm 2 $$ 因此，特征根为两个不相等的实根：$\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = -2$。 根据常系数线性齐次微分方程解的结构理论，当特征根为两个不相等的实根时，通解形式为： $$ y = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t} $$ 代入特征根 $\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = -2$，得到微分方程的通解： $$ y = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t} $$ 其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数，将由后续步骤中的初始条件确定。至此，我们完成了微分方程的通解求解。

首先，将变量 $t = \ln x$ 代回通解 $y = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t}$ 中。由于 $e^{2t} = e^{2\ln x} = x^2$，$e^{-2t} = e^{-2\ln x} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$，因此得到关于 $x$ 的函数表达式： $$ y = C_1 x^2 + \frac{C_2}{x^2}. $$ 接下来，利用初始条件 $y(1) = 1$ 和 $y'(1) = 2$ 确定常数 $C_1$ 和 $C_2$。 先代入 $x = 1$ 到 $y$ 的表达式中： $$ y(1) = C_1 \cdot 1^2 + \frac{C_2}{1^2} = C_1 + C_2 = 1. \quad (1) $$ 再求导。对 $y = C_1 x^2 + C_2 x^{-2}$ 求导得： $$ y' = 2C_1 x - 2C_2 x^{-3} = 2C_1 x - \frac{2C_2}{x^3}. $$ 代入 $x = 1$： $$ y'(1) = 2C_1 \cdot 1 - \frac{2C_2}{1^3} = 2C_1 - 2C_2 = 2. $$ 两边除以 2 得： $$ C_1 - C_2 = 1. \quad (2) $$ 联立方程 (1) 和 (2)： $$ \begin{cases} C_1 + C_2 = 1, \\ C_1 - C_2 = 1. \end{cases} $$ 两式相加得 $2C_1 = 2$，所以 $C_1 = 1$；代入 (1) 得 $1 + C_2 = 1$，所以 $C_2 = 0$。 因此，满足初始条件的特解为 $y = x^2$。

在前三步中，我们已经通过分离变量法求解了微分方程，并得到了通解形式。现在需要根据题目给定的初始条件确定任意常数，从而写出特解。 假设原微分方程为 $y' = 2x$，且初始条件为 $y(1)=1$。首先，对 $y' = 2x$ 两边积分，得到通解： $$ y = \int 2x \, dx = x^2 + C $$ 其中 $C$ 为任意常数。 代入初始条件 $x=1$ 时 $y=1$： $$ 1 = 1^2 + C \Rightarrow 1 = 1 + C \Rightarrow C = 0 $$ 因此，满足初始条件的特解为： $$ y = x^2 $$ **验证**：将特解代入原方程，左边 $y' = 2x$，右边 $2x$，相等；且 $y(1)=1^2=1$，满足初始条件。故特解正确。