2021年考研数学一第1题

要判断函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性，需验证极限 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 是否存在且等于 $f(0)$。已知 $f(0)=1$，因此计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$。 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可以使用等价无穷小替换：当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$，因此 $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1. $$ 或者利用重要极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$（该极限可由导数定义或洛必达法则得到）。 由于极限值 $1$ 与 $f(0)=1$ 相等，故函数在 $x=0$ 处连续。

根据导数定义，函数$f(x)$在$x=0$处的导数$f'(0)$存在当且仅当极限$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$存在，且该极限值即为导数值。已知$f(0)=1$，且当$x \neq 0$时$f(x)=\frac{e^x-1}{x}$，因此有： $$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x-1}{x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1 - x}{x^2}. $$ 接下来计算该极限。由于当$x \to 0$时分子$e^x-1-x \to 0$，分母$x^2 \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型未定式，可使用洛必达法则或泰勒展开。 **方法一（洛必达法则）：** 对分子分母分别求导： $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1-x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{2x}. $$ 此极限仍为$\frac{0}{0}$型，再次使用洛必达法则： $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}. $$ **方法二（泰勒展开）：** 将$e^x$在$x=0$处展开为$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，则 $$ e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + o(x^2), $$ 代入极限得： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2}. $$ 因此极限存在且为$\frac{1}{2}$，故$f(x)$在$x=0$处可导，且$f'(0)=\frac{1}{2}$。

根据导数的定义，$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x\cdot x}$。在第二步中，我们已经将分子整理为$e^x-1-x$，分母为$x^2$。现在需要计算该极限： $$ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}. $$ 由于当$x\to 0$时，分子$e^x-1-x\to 0$，分母$x^2\to 0$，该极限为$\frac{0}{0}$型未定式，可以使用洛必达法则。对分子和分母分别求导： 分子的导数为$\frac{d}{dx}(e^x-1-x)=e^x-1$，分母的导数为$\frac{d}{dx}(x^2)=2x$。于是 $$ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x}. $$ 再次得到$\frac{0}{0}$型未定式，继续使用洛必达法则： 分子的导数为$\frac{d}{dx}(e^x-1)=e^x$，分母的导数为$\frac{d}{dx}(2x)=2$。于是 $$ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}. $$ 或者，在得到$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x}$后，也可以利用等价无穷小：当$x\to 0$时，$e^x-1\sim x$，因此$\frac{e^x-1}{2x}\sim \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$，结果相同。 因此，$f'(0)=\frac{1}{2}\neq 0$。该导数值非零，说明函数在$x=0$处可导且导数不为零，这为后续判断极值点提供了关键信息。

根据前几步的分析，函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f'(x) \neq 0$ 对任意 $x \in (a,b)$ 成立。由连续函数的介值定理，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上能取到介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的所有值。又因为导数恒不为零，由达布定理（导数的介值性）可知，$f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内保持同号，从而 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调。严格单调的连续函数是一一映射，因此方程 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至多有一个实根。结合 $f(a) \cdot f(b) < 0$（题目隐含条件，由零点定理保证至少有一个根），可知方程 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内恰有一个实根。选项 (D) 描述为“$f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内恰有一个实根”，与上述推理完全吻合。其他选项： (A) 说至少有两个实根，与单调性矛盾； (B) 说没有实根，与零点定理矛盾； (C) 说有且仅有一个实根，但未强调“恰有一个”，且 (D) 的表述更精确。因此正确选项为 (D)。最终验证：取 $f(x)=x$ 在 $[-1,1]$ 上，满足连续且导数 $1 \neq 0$，$f(-1)f(1)<0$，方程 $x=0$ 在 $(-1,1)$ 内恰有一个实根，符合 (D)。