首先，理解题意：将长度为1的线段随机分成两段，设其中较短的一段长度为$X$。由于线段总长为1，且随机分点均匀落在$(0,1)$上，则分点位置$U$服从$(0,1)$上的均匀分布。设分点位置为$U$，则两段长度分别为$U$和$1-U$。较短的一段长度$X = \min(U, 1-U)$。显然$X$的取值范围是$(0, \frac{1}{2})$，因为当分点恰好在中点时，两段相等，$X=\frac{1}{2}$；当分点无限接近端点时，$X$趋近于0。但题目中“较短段”意味着$X$不可能等于0或$\frac{1}{2}$（边界情况概率为0），故$X$的取值范围为$0 < X < \frac{1}{2}$。
接下来推导$X$的分布。由于$U \sim U(0,1)$，其概率密度函数为$f_U(u)=1, \ 0
目标：建立Z与X的函数关系
根据题目已知条件，随机变量 $Y$ 与 $X$ 满足关系 $Y = 2 - X$。我们需要建立 $Z = \frac{Y}{X}$ 与 $X$ 之间的函数关系。将 $Y = 2 - X$ 代入 $Z$ 的表达式中，得到：
$$
Z = \frac{Y}{X} = \frac{2 - X}{X}
$$
对分子进行拆分，可得：
$$
Z = \frac{2}{X} - \frac{X}{X} = \frac{2}{X} - 1
$$
因此，$Z$ 与 $X$ 的函数关系为 $Z = \frac{2}{X} - 1$。注意，这里 $X$ 的取值范围需要根据原题中 $X$ 的分布确定，但本步骤仅建立函数关系，不涉及具体取值范围。该关系式将用于后续步骤中通过 $X$ 的分布推导 $Z$ 的分布。
公式：Z = \frac{2}{X} - 1
提示：代入后先写成分式形式，再逐项化简，避免跳步出错。
目标：推导Z的分布函数
我们需要推导随机变量$Z = \frac{2}{X} - 1$的分布函数$F_Z(z)$。已知$X$服从区间$(0,1)$上的均匀分布，其概率密度函数为$f_X(x)=1$（当$0
1$），所以$P(Z \le z)=0$。即$F_Z(z)=0$。
**情况2：** 当$z \ge 1$时，事件$\{Z \le z\}$等价于$\{\frac{2}{X} - 1 \le z\}$。解这个不等式：
$$
\frac{2}{X} - 1 \le z \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{X} \le z+1 \quad \Rightarrow \quad X \ge \frac{2}{z+1}.
$$
注意，由于$X>0$，不等式方向不变。同时，$X$的取值范围是$(0,1)$，因此$X$必须同时满足$X \ge \frac{2}{z+1}$和$0
公式：F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z < 1, \\ \dfrac{z-1}{z+1}, & z \ge 1. \end{cases}
提示：先确定Z的取值范围，再分情况讨论，解不等式时注意变量范围。
目标：求Z的概率密度函数
由步骤3已得到随机变量$Z$的分布函数为：
$$F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z \leq 1 \\ 1 - \frac{2}{z+1}, & z > 1 \end{cases}$$
对分布函数求导，即可得到概率密度函数$f_Z(z)$。
当$z \leq 1$时，$F_Z(z)=0$，故$f_Z(z)=0$。
当$z > 1$时，$F_Z(z)=1 - \frac{2}{z+1}$，求导得：
$$f_Z(z) = \frac{d}{dz}\left(1 - \frac{2}{z+1}\right) = 0 - 2 \cdot \frac{d}{dz}\left((z+1)^{-1}\right) = -2 \cdot (-1)(z+1)^{-2} = \frac{2}{(z+1)^2}$$
因此，$Z$的概率密度函数为：
$$f_Z(z) = \begin{cases} 0, & z \leq 1 \\ \frac{2}{(z+1)^2}, & z > 1 \end{cases}$$
验证：对$f_Z(z)$在全体实数上积分，应有$\int_{-\infty}^{+\infty} f_Z(z) dz = 1$。计算：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f_Z(z) dz = \int_{1}^{+\infty} \frac{2}{(z+1)^2} dz = 2 \cdot \left[-\frac{1}{z+1}\right]_{1}^{+\infty} = 2 \cdot \left(0 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$
积分结果为1，符合概率密度函数的归一性，结果正确。
公式：$$f_Z(z) = \begin{cases} 0, & z \leq 1 \\ \frac{2}{(z+1)^2}, & z > 1 \end{cases}$$
提示：求导时注意复合函数求导法则，并验证积分是否为1。
目标：计算期望E(X/Y)
由前几步已知，随机变量$X$服从区间$(0,1)$上的均匀分布，且$Y=2-X$，因此$X$与$Y$的关系为$Y=2-X$。于是$\frac{X}{Y}=\frac{X}{2-X}$。期望$E\left(\frac{X}{Y}\right)=E\left(\frac{X}{2-X}\right)$。由于$X$的概率密度函数为$f_X(x)=1$，$x\in(0,1)$，故$$E\left(\frac{X}{Y}\right)=\int_0^1 \frac{x}{2-x}\cdot 1\,dx=\int_0^1 \frac{x}{2-x}\,dx.$$计算该积分：令$u=2-x$，则$x=2-u$，$dx=-du$，当$x=0$时$u=2$，当$x=1$时$u=1$，于是\begin{align*}\int_0^1 \frac{x}{2-x}\,dx&=\int_2^1 \frac{2-u}{u}\cdot(-du)=\int_1^2 \frac{2-u}{u}\,du=\int_1^2\left(\frac{2}{u}-1\right)du\\&=\left[2\ln u - u\right]_1^2=(2\ln2-2)-(2\ln1-1)=2\ln2-2+1=2\ln2-1.\end{align*}因此$E\left(\frac{X}{Y}\right)=2\ln2-1$。最终答案验证：$2\ln2-1\approx2\times0.6931-1=0.3862$，数值合理。
公式：$$E\left(\frac{X}{Y}\right)=\int_0^1 \frac{x}{2-x}\,dx=2\ln2-1$$
提示：利用已知关系$Y=2-X$将二元问题化为一元积分，注意换元时积分限的变化。
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