2022年考研数学一第12题
📝 题目
$\displaystyle\int_{1}^{e^{2}} \displaystyle\frac{\ln x}{\sqrt{x}} d x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**: 4
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**解析**:
$\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \displaystyle\frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=2 \displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \ln x \mathrm{~d} \sqrt{x}=2\left[\left.\sqrt{x} \ln x\right|_{1} ^{\mathrm{e}^{2}}-\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \sqrt{x} \mathrm{~d}(\ln x)\right]$ $=2\left[\left.\sqrt{x} \ln x\right|_{1} ^{\mathrm{e}^{2}}-\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \sqrt{x} \mathrm{~d}(\ln x)\right]=2\left(\sqrt{\mathrm{e}^{2}} \ln \mathrm{e}^{2}-\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x\right)$ $=2\left[\left.\sqrt{x} \ln x\right|_{1} ^{\mathrm{e}^{2}}-\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \sqrt{x} \mathrm{~d}(\ln x)\right]=2\left(2 \mathrm{e}-\left.2 \sqrt{x}\right|_{1} ^{\mathrm{e}^{2}}\right)=4$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：凑微分
首先观察被积函数中的微分部分 $\frac{1}{\sqrt{x}} dx$。注意到 $\sqrt{x}$ 的微分是 $d(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$，因此 $\frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 d(\sqrt{x})$。将这一变换代入原积分：
$$\int_{1}^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{e^2} \ln x \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{e^2} \ln x \cdot 2 d(\sqrt{x}) = 2 \int_{1}^{e^2} \ln x \, d(\sqrt{x}).$$
这样，原积分被转化为 $2\int_{1}^{e^2} \ln x \, d(\sqrt{x})$，为下一步使用分部积分法做好了准备。注意积分上下限保持不变，因为变量替换 $t = \sqrt{x}$ 尚未显式进行，只是微分形式的改写。
公式：$$\frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 d(\sqrt{x})$$
提示：牢记 $d(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$，反向使用即可得到系数2。
步骤 2/5
目标：应用分部积分公式
在第一步中，我们已将原积分转化为 $2\int_{1}^{e^{2}} \ln x \, d(\sqrt{x})$。现在应用分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
令 $u = \ln x$，$dv = d(\sqrt{x})$。则 $du = \frac{1}{x} \, dx$，$v = \sqrt{x}$。
代入分部积分公式得：
$$
2\int_{1}^{e^{2}} \ln x \, d(\sqrt{x}) = 2\left[ \sqrt{x} \ln x \Big|_{1}^{e^{2}} - \int_{1}^{e^{2}} \sqrt{x} \, d(\ln x) \right]
$$
注意 $d(\ln x) = \frac{1}{x} \, dx$，因此上式可进一步写为：
$$
2\left[ \sqrt{x} \ln x \Big|_{1}^{e^{2}} - \int_{1}^{e^{2}} \frac{\sqrt{x}}{x} \, dx \right] = 2\left[ \sqrt{x} \ln x \Big|_{1}^{e^{2}} - \int_{1}^{e^{2}} x^{-\frac{1}{2}} \, dx \right]
$$
至此，分部积分步骤完成，后续将计算边界项和剩余积分。
公式：$$2\int_{1}^{e^{2}} \ln x \, d(\sqrt{x}) = 2\left[ \sqrt{x} \ln x \Big|_{1}^{e^{2}} - \int_{1}^{e^{2}} \sqrt{x} \, d(\ln x) \right]$$
提示：分部积分时，注意将 $\ln x$ 选为 $u$，因为其导数简单。
步骤 3/5
目标：化简微分项
本步骤的目标是对积分表达式中的微分项进行化简。当前积分形式为 $\int \sqrt{x} \, d(\ln x)$，其中微分变量是 $\ln x$，而不是通常的 $x$。根据微分法则，自然对数的微分满足 $d(\ln x) = \frac{1}{x} dx$。因此，我们可以将原积分中的 $d(\ln x)$ 替换为 $\frac{1}{x} dx$，从而将积分转化为关于 $dx$ 的积分：
$$
\int \sqrt{x} \, d(\ln x) = \int \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \, dx.
$$
接下来，对表达式 $\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}$ 进行代数化简。回忆 $\sqrt{x} = x^{1/2}$，而 $\frac{1}{x} = x^{-1}$，因此乘积为：
$$
\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} = x^{1/2} \cdot x^{-1} = x^{1/2 - 1} = x^{-1/2}.
$$
于是，原积分简化为：
$$
\int \sqrt{x} \, d(\ln x) = \int x^{-1/2} \, dx.
$$
至此，微分项化简完成。这一步的关键在于正确应用微分公式 $d(\ln x) = \frac{1}{x} dx$，并利用指数运算法则合并幂次。化简后的积分 $\int x^{-1/2} \, dx$ 是一个标准幂函数积分，为下一步直接积分奠定了基础。
公式：d(\ln x) = \frac{1}{x} dx \quad \Rightarrow \quad \int \sqrt{x} \, d(\ln x) = \int x^{-1/2} \, dx
提示：牢记微分公式 $d(\ln x)=dx/x$，将复杂微分转化为简单形式。
步骤 4/5
目标：计算积分
本步骤需要计算定积分 $\int_{1}^{e^2} x^{-1/2} \, dx$。首先，将被积函数 $x^{-1/2}$ 写成幂函数形式，即 $x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$。根据幂函数的积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（其中 $n \neq -1$），这里 $n = -\frac{1}{2}$，因此 $n+1 = \frac{1}{2}$。所以不定积分为：
$$\int x^{-1/2} \, dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2x^{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C.$$
接下来计算定积分，利用牛顿-莱布尼茨公式：
$$\int_{1}^{e^2} x^{-1/2} \, dx = \left[ 2\sqrt{x} \right]_{1}^{e^2} = 2\sqrt{e^2} - 2\sqrt{1}.$$
由于 $\sqrt{e^2} = e$（因为 $e > 0$），$\sqrt{1} = 1$，代入得：
$$2\sqrt{e^2} - 2\sqrt{1} = 2e - 2 \cdot 1 = 2e - 2 = 2(e - 1).$$
因此，积分结果为 $2(e - 1)$。
公式：$$\int_{1}^{e^2} x^{-1/2} \, dx = 2\sqrt{x}\Big|_{1}^{e^2} = 2(e - 1)$$
提示：牢记幂函数积分公式，代入上下限时注意符号和算术运算。
步骤 5/5
目标：代入并求值
本步骤将上一步得到的分部积分结果代入并计算数值。上一步得到：
$$\int_{1}^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = 2\left[\sqrt{x} \ln x \Big|_{1}^{e^2} - 2\sqrt{x} \Big|_{1}^{e^2}\right]$$
首先计算第一项 $\sqrt{x} \ln x$ 在上下限处的值：
- 上限 $x = e^2$：$\sqrt{e^2} \ln(e^2) = e \cdot 2 = 2e$
- 下限 $x = 1$：$\sqrt{1} \ln 1 = 1 \cdot 0 = 0$
因此 $\sqrt{x} \ln x \Big|_{1}^{e^2} = 2e - 0 = 2e$。
接着计算第二项 $\sqrt{x}$ 在上下限处的值：
- 上限 $x = e^2$：$\sqrt{e^2} = e$
- 下限 $x = 1$：$\sqrt{1} = 1$
因此 $\sqrt{x} \Big|_{1}^{e^2} = e - 1$。
将上述结果代入分部积分表达式：
$$\begin{aligned}
\int_{1}^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx &= 2\left[ (2e) - 2(e - 1) \right] \\
&= 2\left[ 2e - 2e + 2 \right] \\
&= 2 \times 2 \\
&= 4
\end{aligned}$$
因此，定积分的值为 $4$。验证：该结果为正数，符合被积函数在区间 $[1, e^2]$ 上非负（$\ln x \ge 0$，$\sqrt{x} > 0$）的预期。最终答案为 $4$。
公式：\int_{1}^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = 2\left[\sqrt{x} \ln x \Big|_{1}^{e^2} - 2\sqrt{x} \Big|_{1}^{e^2}\right] = 4
提示：代入时先分别计算上下限的值，再相减，避免符号混淆。
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