2005年考研数学一第5题

填空题 · 4分

📝 题目

设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 均为3维列向量，记矩阵 $$ \boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+9 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right) . $$ 如果 $|\boldsymbol{A}|=1$ ，那么 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$。

💡 答案解析

**答案**: 2 ．

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**解析**:

方法一 因为 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+9 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$

$$ =\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{array}\right), $$

所以 $|\boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}| \cdot\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9\end{array}\right|=(3-1)(3-2)(2-1)=2$ ． 方法二 $\quad|\boldsymbol{B}|=\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+9 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right|$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：将矩阵B用矩阵A与系数矩阵的乘积表示
已知矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 为 $3 \times 3$ 矩阵，矩阵 $B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3)$ 也是 $3 \times 3$ 矩阵。题目给出： $$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3, \quad \beta_2 = \alpha_1 + 2\alpha_2 + 4\alpha_3, \quad \beta_3 = \alpha_1 + 3\alpha_2 + 9\alpha_3.$$ 观察 $B$ 的每一列都是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合，因此可以将组合系数写成矩阵形式。设系数矩阵为 $C$，使得 $B = A C$。 对于第一列 $\beta_1$，组合系数为 $(1,1,1)^\mathrm{T}$； 对于第二列 $\beta_2$，组合系数为 $(1,2,4)^\mathrm{T}$； 对于第三列 $\beta_3$，组合系数为 $(1,3,9)^\mathrm{T}$。 因此系数矩阵 $C$ 为： $$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}.$$ 于是有 $B = A C$。注意 $C$ 是一个范德蒙德矩阵，其行列式不为零，因此 $C$ 可逆，这为后续步骤中求解 $A$ 提供了便利。
公式：$$B = A \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}$$
提示：注意列向量的组合系数按列排列，系数矩阵的每一列对应B的一列。
步骤 2/4
目标：应用行列式乘法性质
已知矩阵 $B = A C$，其中 $A$ 和 $C$ 均为 $n$ 阶方阵。根据行列式的乘法性质，对于任意两个同阶方阵，其乘积的行列式等于各自行列式的乘积，即 $|B| = |A C| = |A| \cdot |C|$。题目已给出 $|A| = 1$，代入上式得 $|B| = 1 \cdot |C| = |C|$。因此，矩阵 $B$ 的行列式与矩阵 $C$ 的行列式相等。这一性质是后续计算 $|B|$ 的关键，因为我们可以通过计算 $|C|$ 来间接得到 $|B|$，而 $C$ 的结构往往比 $B$ 更简单。注意，行列式乘法性质成立的前提是 $A$ 和 $C$ 均为方阵，且乘法 $A C$ 有意义。本题中 $A$ 和 $C$ 均为 $n$ 阶方阵，满足条件。
公式：$$|B| = |A C| = |A| \cdot |C| = 1 \cdot |C| = |C|$$
提示：牢记行列式乘法性质：$|AB| = |A||B|$，这是简化计算的重要工具。
步骤 3/4
目标：计算系数矩阵C的行列式
系数矩阵$C$为： $$ C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix} $$ 观察矩阵的结构，它符合范德蒙德行列式的形式。范德蒙德行列式的一般形式为： $$ \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq 3} (x_j - x_i) $$ 在本题中，$x_1 = 1$，$x_2 = 2$，$x_3 = 3$。因此，行列式的值为： $$ \det(C) = (x_3 - x_1)(x_3 - x_2)(x_2 - x_1) = (3-1)(3-2)(2-1) = 2 \times 1 \times 1 = 2 $$ 所以系数矩阵$C$的行列式为$2$。
公式：\det(C) = \prod_{1 \leq i < j \leq 3} (x_j - x_i) = (3-1)(3-2)(2-1) = 2
提示：牢记范德蒙德行列式的公式，注意下标顺序为$i
步骤 4/4
目标：得出最终结果
由前一步已知，矩阵$B$的行列式$|B|$等于其对角线上元素的乘积，即$|B| = 1 \times 2 = 2$。因此，矩阵$B$的行列式值为$2$。 **验证**：由于$B$是上三角矩阵（或下三角矩阵），其行列式确实等于主对角线上元素的乘积。这里主对角线元素为$1$和$2$，乘积为$2$，结果正确。 **最终答案**：$|B| = 2$。
公式：|B| = 1 \times 2 = 2
提示：三角矩阵的行列式直接等于对角线元素乘积，无需展开计算。

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