2022年考研数学一第16题

首先，根据条件概率的定义，对于事件 $X$ 和 $Y$（其中 $P(Y)>0$），有 $P(X|Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}$。本题中，我们需要计算 $P(B\cup C|A\cup B\cup C)$。因此，令 $X=B\cup C$，$Y=A\cup B\cup C$，代入条件概率公式得： $$P(B\cup C|A\cup B\cup C)=\frac{P((B\cup C)\cap (A\cup B\cup C))}{P(A\cup B\cup C)}.$$ 接下来，观察分子中的事件 $(B\cup C)\cap (A\cup B\cup C)$。由于 $B\cup C$ 是 $A\cup B\cup C$ 的子集（因为 $A\cup B\cup C$ 包含了 $B\cup C$ 中的所有元素），所以 $(B\cup C)\cap (A\cup B\cup C)=B\cup C$。因此，分子简化为 $P(B\cup C)$。于是条件概率公式进一步写为： $$P(B\cup C|A\cup B\cup C)=\frac{P(B\cup C)}{P(A\cup B\cup C)}.$$ 这一步的关键在于识别出集合的包含关系，从而简化分子。后续步骤将分别计算 $P(B\cup C)$ 和 $P(A\cup B\cup C)$。

本步骤的目标是计算事件$B$与事件$C$的并集的概率$P(B\cup C)$。根据概率的加法公式，对于任意两个事件$B$和$C$，有 $$P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(BC).$$ 由题目条件已知，$P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$，且事件$B$与$C$相互独立。由独立性的定义，两个独立事件同时发生的概率等于各自概率的乘积，即 $$P(BC)=P(B)P(C)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}.$$ 将上述数值代入加法公式，得到 $$P(B\cup C)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{3}-\frac{1}{9}.$$ 通分计算：$\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$，因此 $$P(B\cup C)=\frac{6}{9}-\frac{1}{9}=\frac{5}{9}.$$ 所以，事件$B$与$C$的并集的概率为$\frac{5}{9}$。

本步骤的目标是利用三个事件的加法公式计算$P(A \cup B \cup C)$。三个事件的加法公式为： $$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC).$$ 根据已知条件： - 事件$A$与$B$互不相容，即$AB = \emptyset$，因此$P(AB) = 0$。 - 事件$A$与$C$互不相容，即$AC = \emptyset$，因此$P(AC) = 0$。 - 事件$B$与$C$相互独立，且已知$P(B) = \frac{1}{3}$，$P(C) = \frac{1}{3}$，由独立事件概率乘法公式得$P(BC) = P(B)P(C) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。 - 由于$AB = \emptyset$且$AC = \emptyset$，三个事件的交集$ABC$是空集（因为$ABC \subseteq AB$且$ABC \subseteq AC$），故$P(ABC) = 0$。 将已知概率值代入加法公式： $$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - 0 - 0 - \frac{1}{9} + 0.$$ 由前序步骤已知$P(A) = \frac{1}{3}$，$P(B) = \frac{1}{3}$，$P(C) = \frac{1}{3}$，代入得： $$P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.$$ 因此，$P(A \cup B \cup C) = \frac{8}{9}$。

本步骤的目标是计算条件概率 $P(B \cup C \mid A \cup B \cup C)$。根据条件概率的定义，有 $$ P(B \cup C \mid A \cup B \cup C) = \frac{P((B \cup C) \cap (A \cup B \cup C))}{P(A \cup B \cup C)}. $$ 由于 $B \cup C \subseteq A \cup B \cup C$，因此 $(B \cup C) \cap (A \cup B \cup C) = B \cup C$，于是分子即为 $P(B \cup C)$。所以 $$ P(B \cup C \mid A \cup B \cup C) = \frac{P(B \cup C)}{P(A \cup B \cup C)}. $$ 由前面步骤已求得 $P(B \cup C) = \frac{5}{9}$，$P(A \cup B \cup C) = \frac{8}{9}$。代入上式得 $$ P(B \cup C \mid A \cup B \cup C) = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{8}{9}} = \frac{5}{9} \times \frac{9}{8} = \frac{5}{8}. $$ 因此，所求条件概率为 $\frac{5}{8}$。 **最终答案验证**： - 检查概率值是否在 $[0,1]$ 内：$\frac{5}{8}=0.625$，符合要求。 - 验证逻辑合理性：$B \cup C$ 是 $A \cup B \cup C$ 的子集，条件概率应小于等于1，且大于0，结果合理。 - 可代入原始事件验证：若假设样本空间总数为9份，则 $B \cup C$ 占5份，$A \cup B \cup C$ 占8份，条件概率为 $5/8$，与计算一致。 综上，最终答案为 $\boxed{\dfrac{5}{8}}$。