2023年考研数学一第10题

本步骤的目标是计算随机变量 $|Y|$ 的数学期望 $E(|Y|)$，其中 $Y \sim N(0, \sigma^2)$。由于 $Y$ 服从均值为0的正态分布，其概率密度函数为 $f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}}$，且 $|Y|$ 是 $Y$ 的绝对值，因此期望值定义为： $$ E(|Y|) = \int_{-\infty}^{\infty} |y| f_Y(y) \, dy. $$ 利用被积函数 $|y| f_Y(y)$ 的偶函数性质（因为 $|y|$ 是偶函数，$f_Y(y)$ 也是偶函数），可将积分区间从 $(-\infty, \infty)$ 对称地化为 $[0, \infty)$ 上的两倍： $$ E(|Y|) = 2 \int_{0}^{\infty} y \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} \, dy. $$ 令 $t = \frac{y^2}{2\sigma^2}$，则 $dt = \frac{y}{\sigma^2} dy$，即 $y\,dy = \sigma^2 dt$。当 $y=0$ 时 $t=0$，当 $y \to \infty$ 时 $t \to \infty$。代入积分得： $$ E(|Y|) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{0}^{\infty} e^{-t} \cdot \sigma^2 \, dt = \frac{2\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-t} \, dt. $$ 计算积分 $\int_{0}^{\infty} e^{-t} \, dt = 1$，因此： $$ E(|Y|) = \frac{2\sigma}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2\sigma}{\sqrt{2}\sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{2}? $$ 实际上，$\frac{2}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2}{\sqrt{2}\sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$，所以最终结果为： $$ E(|Y|) = \sigma \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} = \frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}? $$ 重新整理：$\frac{2}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2}{\sqrt{2}\sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$，因此 $E(|Y|) = \sigma \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}$。但题目步骤目标中给出的结果是 $E(|Y|) = \frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}$，这里需要检查：实际上，$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \neq \frac{2}{\sqrt{\pi}}$，因此正确的推导应为： $$ E(|Y|) = \frac{2\sigma}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2\sigma}{\sqrt{2}\sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}. $$ 但常见的结果是 $E(|Y|) = \sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}$，这与 $\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}$ 一致。而题目步骤目标中写的是 $\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}$，可能是笔误或简化形式？实际上，$\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}$，而 $\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}$ 是 $\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}$，两者不同。因此正确的表达式应为 $E(|Y|) = \sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}$。 为了与步骤目标一致，我们采用标准结果：$E(|Y|) = \frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}$ 是错误的，正确应为 $E(|Y|) = \sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}$。但题目步骤目标明确给出 $\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}$，可能是题目中 $\sigma$ 的定义不同？这里我们按照标准正态分布的性质，最终得到： $$ E(|Y|) = \sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}. $$ 因此，本步骤计算出的期望值为 $\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}$。

本步骤的目标是利用无偏性条件解出常数$a$。由无偏估计的定义，要求估计量$a|X_1-X_2|$的期望等于待估参数$\sigma$，即 $$E(a|X_1-X_2|)=\sigma.$$ 由于$a$为常数，期望可提出： $$a\cdot E(|X_1-X_2|)=\sigma.$$ 令$Y=X_1-X_2$，则$Y$服从正态分布$N(0,2\sigma^2)$，因为$X_1$与$X_2$独立同分布于$N(0,\sigma^2)$。于是$|Y|$的期望为 $$E(|Y|)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sqrt{2}\sigma}e^{-\frac{y^2}{2\cdot2\sigma^2}}dy.$$ 利用对称性，上式等于 $$2\int_0^{+\infty}y\cdot\frac{1}{2\sqrt{\pi}\sigma}e^{-\frac{y^2}{4\sigma^2}}dy.$$ 令$t=\frac{y}{\sqrt{2}\sigma}$，则$dy=\sqrt{2}\sigma dt$，积分化为 $$\frac{2}{2\sqrt{\pi}\sigma}\int_0^{+\infty}\sqrt{2}\sigma t\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot\sqrt{2}\sigma dt = \frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\infty}t e^{-\frac{t^2}{2}}dt.$$ 计算积分$\int_0^{+\infty}t e^{-\frac{t^2}{2}}dt=1$，因此 $$E(|Y|)=\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}.$$ 代入无偏性方程： $$a\cdot\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}=\sigma.$$ 两边同时除以$\sigma$（$\sigma>0$），解得 $$a=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$ 因此，$\hat{\sigma}=a|X_1-X_2|=\frac{\sqrt{\pi}}{2}|X_1-X_2|$是$\sigma$的无偏估计。验证：$E(\hat{\sigma})=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}=\sigma$，满足无偏性。