2023年考研数学一第13题

题目要求将函数展开为余弦级数，因此首先需要明确函数的奇偶性。余弦级数对应的是偶函数延拓，即原函数$f(x)$定义在区间$[0,1]$上，将其偶延拓到$[-1,1]$上，再以周期$T=2$进行周期延拓。由于余弦级数只包含余弦项，故延拓后的函数是偶函数。 对于周期为$2$的偶函数，其傅里叶级数形式为： $$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\pi x)$$ 其中傅里叶系数公式为： $$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) dx$$ 代入$T=2$，得： $$a_n = \frac{2}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \cos(n\pi x) dx = \int_{-1}^{1} f(x) \cos(n\pi x) dx$$ 由于$f(x)$是偶函数，$\cos(n\pi x)$也是偶函数，乘积为偶函数，因此积分区间可简化为$[0,1]$的两倍： $$a_n = 2 \int_0^1 f(x) \cos(n\pi x) dx$$ 特别地，当$n=0$时，$\cos(0)=1$，$a_0 = 2 \int_0^1 f(x) dx$。 至此，我们得到了傅里叶余弦级数的系数公式，后续步骤将根据具体的$f(x)$计算这些系数。

已知函数$f(x)=1-x$，将其代入傅里叶系数公式$a_n = 2\int_0^1 f(x) \cos(n\pi x) \, dx$中，得到： $$ a_n = 2\int_0^1 (1-x) \cos(n\pi x) \, dx. $$ 利用积分的线性性质，将括号展开，将积分拆分为两个部分： $$ a_n = 2\left( \int_0^1 \cos(n\pi x) \, dx - \int_0^1 x \cos(n\pi x) \, dx \right). $$ 这样拆分后，每个积分都可以用基本的积分公式或分部积分法分别计算。第一个积分$\int_0^1 \cos(n\pi x) \, dx$是简单的余弦函数积分，第二个积分$\int_0^1 x \cos(n\pi x) \, dx$则需要使用分部积分法处理。拆分步骤为后续计算奠定了基础。

我们需要计算积分 $\int_0^1 \cos(n\pi x) \, dx$。这是一个基本的定积分，被积函数为 $\cos(n\pi x)$，积分区间为 $[0,1]$。首先，回忆不定积分公式：$\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C$。这里 $a = n\pi$，因此： $$\int_0^1 \cos(n\pi x) \, dx = \left[ \frac{1}{n\pi} \sin(n\pi x) \right]_0^1$$ 代入上下限： $$= \frac{1}{n\pi} \sin(n\pi \cdot 1) - \frac{1}{n\pi} \sin(n\pi \cdot 0) = \frac{1}{n\pi} \sin(n\pi) - \frac{1}{n\pi} \sin(0)$$ 由于 $\sin(0) = 0$，且对于任意整数 $n$，$\sin(n\pi) = 0$，因此： $$\frac{1}{n\pi} \cdot 0 - 0 = 0$$ 所以该积分的结果为 $0$。注意，这里 $n$ 是正整数（题目中隐含），因此 $\sin(n\pi)=0$ 成立。如果 $n=0$，则原积分变为 $\int_0^1 1 \, dx = 1$，但本题中 $n$ 通常取正整数，故结果为 $0$。

我们需要计算积分 $\int_0^1 x \cos(n\pi x) \, dx$。使用分部积分法，设 $u = x$，$dv = \cos(n\pi x) \, dx$，则 $du = dx$，$v = \frac{1}{n\pi} \sin(n\pi x)$。分部积分公式为 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，代入得： $$\int_0^1 x \cos(n\pi x) \, dx = \left. \frac{x}{n\pi} \sin(n\pi x) \right|_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{n\pi} \sin(n\pi x) \, dx.$$ 计算第一项：当 $x=1$ 时，$\sin(n\pi) = 0$；当 $x=0$ 时，$0 \cdot \sin(0) = 0$，因此第一项为 $0$。于是积分简化为： $$- \frac{1}{n\pi} \int_0^1 \sin(n\pi x) \, dx.$$ 再计算 $\int_0^1 \sin(n\pi x) \, dx$，其原函数为 $-\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi x)$，所以： $$\int_0^1 \sin(n\pi x) \, dx = \left. -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi x) \right|_0^1 = -\frac{1}{n\pi} (\cos(n\pi) - \cos 0) = -\frac{1}{n\pi} (\cos(n\pi) - 1).$$ 代入原式： $$- \frac{1}{n\pi} \left[ -\frac{1}{n\pi} (\cos(n\pi) - 1) \right] = \frac{1}{n^2 \pi^2} (\cos(n\pi) - 1).$$ 注意 $\cos(n\pi) = (-1)^n$，因此 $\cos(n\pi) - 1 = (-1)^n - 1$。当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n = 1$，结果为 $0$；当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n = -1$，结果为 $-2$。所以最终结果为： $$\int_0^1 x \cos(n\pi x) \, dx = \frac{1}{n^2 \pi^2} [(-1)^n - 1].$$

在前一步中，我们已经得到傅里叶系数$a_n$的积分表达式： $$a_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \cos\frac{n\pi x}{l} \,dx$$ 其中$l=1$，$f(x)=x$，因此 $$a_n = 2 \int_0^1 x \cos(n\pi x) \,dx$$ 利用分部积分法，令$u=x$，$dv=\cos(n\pi x)\,dx$，则$du=dx$，$v=\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)$，于是 $$\begin{aligned} a_n &= 2\left[ \left. x\cdot\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x) \right|_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)\,dx \right] \\ &= 2\left[ \frac{1}{n\pi}\sin(n\pi) - 0 - \frac{1}{n\pi}\int_0^1 \sin(n\pi x)\,dx \right] \\ &= 2\left[ 0 - \frac{1}{n\pi}\cdot\left(-\frac{1}{n\pi}\cos(n\pi x)\right)\Big|_0^1 \right] \\ &= 2\left[ \frac{1}{n^2\pi^2}\left(\cos(n\pi) - \cos0\right) \right] \\ &= \frac{2}{n^2\pi^2}\left(\cos(n\pi) - 1\right) \end{aligned}$$ 注意到$\cos(n\pi) = (-1)^n$，因此 $$a_n = \frac{2}{n^2\pi^2}\left((-1)^n - 1\right)$$ 将负号提出，得到 $$a_n = -\frac{2}{n^2\pi^2}\left(1 - (-1)^n\right)$$ 这就是$a_n$的最终表达式。

本步骤的目标是计算傅里叶系数中下标为偶数的项$a_{2n}$，并求所有偶数项系数的和。 首先，回顾之前得到的$a_n$表达式： $$a_n = -\frac{2}{n^2\pi^2}(1-\cos n\pi)$$ 现在令$n=2n$（即$n$取偶数），代入上式得： $$a_{2n} = -\frac{2}{(2n)^2\pi^2}\left(1-\cos(2n\pi)\right)$$ 由于$\cos(2n\pi)=1$（对任意整数$n$成立），因此括号内为： $$1-\cos(2n\pi)=1-1=0$$ 所以： $$a_{2n} = -\frac{2}{(2n)^2\pi^2}\cdot 0 = 0$$ 这意味着所有偶数下标的傅里叶系数均为零。 接下来求所有偶数项系数的和： $$\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} = \sum_{n=1}^{\infty} 0 = 0$$ 因此，偶数项系数之和为零。 【最终答案验证】 本题要求计算$\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n}$，我们通过直接代入偶数下标并利用$\cos(2n\pi)=1$，得到每一项均为0，故总和为0。该结果与傅里叶级数中奇偶函数的性质一致：若函数为奇函数，则余弦项系数（即$a_n$）中偶数项为零。