💡 答案解析
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【解析】由已知可得 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=-2 x y-3 x^2 y+5 x^4, ~ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=2 y-x^2-x^3$ ，由 $\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=0\end{array}\right.$ 解得驻点为 $(0,0),(1,1),\left(\displaystyle\frac{2}{3}, \displaystyle\frac{10}{27}\right)$ ．
又 $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-2 y-6 x y+20 x^3, ~ \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-2 x-3 x^2, ~ \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2$ ．
在 $(0,0)$ 处，$A=0, B=0, C=2, ~ A C-B^2=0$ ，
取 $y=x$ ，于是 $f(x, y)=\left(y-x^2\right)\left(y-x^3\right)=\left(x-x^2\right)\left(x-x^3\right)$ ，从而在 $(0,0)$ 的领域内 $f(x, y)>0$ ；
取 $y=\displaystyle\frac{1}{2} x^2$ ，于是 $f(x, y)=\left(y-x^2\right)\left(y-x^3\right)=-\displaystyle\frac{1}{2} x^2\left(\displaystyle\frac{1}{2} x^2-x^3\right)$ ，从而在 $(0,0)$ 的领域内 $f(x, y)<0$ ，从而 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不去极值；
在 $(1,1)$ 处，$A=12, B=-5, C=2$ ，于是 $A C-B^2=-1<0$ ，故（ 1,1 ）不是极大值点在 $\left(\displaystyle\frac{2}{3}, \displaystyle\frac{10}{27}\right)$ 处，$A=\displaystyle\frac{100}{27}>0, B=-\displaystyle\frac{8}{3}, C=2$ ，于是 $A C-B^2=\displaystyle\frac{8}{27}>0, ~\left(\displaystyle\frac{2}{3}, \displaystyle\frac{10}{27}\right)$ 是极小值点，极小值 $f\left(\displaystyle\frac{2}{3}, \displaystyle\frac{10}{27}\right)=-\displaystyle\frac{4}{729}$ ．
📋 详细解题步骤
目标：求一阶偏导数
首先，我们需要计算函数 $f(x,y) = y^2 - x^2 y - x^3 y + x^5$ 关于 $x$ 和 $y$ 的一阶偏导数。
**1. 求 $\frac{\partial f}{\partial x}$**：
将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。
- $y^2$ 对 $x$ 的导数为 $0$（因为不含 $x$）。
- $-x^2 y$ 对 $x$ 的导数为 $-2xy$（幂函数求导，$y$ 视为系数）。
- $-x^3 y$ 对 $x$ 的导数为 $-3x^2 y$。
- $x^5$ 对 $x$ 的导数为 $5x^4$。
因此，
$$\frac{\partial f}{\partial x} = -2xy - 3x^2 y + 5x^4.$$
**2. 求 $\frac{\partial f}{\partial y}$**：
将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求导。
- $y^2$ 对 $y$ 的导数为 $2y$。
- $-x^2 y$ 对 $y$ 的导数为 $-x^2$。
- $-x^3 y$ 对 $y$ 的导数为 $-x^3$。
- $x^5$ 对 $y$ 的导数为 $0$（不含 $y$）。
因此，
$$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y - x^2 - x^3.$$
至此，我们得到了两个一阶偏导数。
公式：$$\frac{\partial f}{\partial x} = -2xy - 3x^2 y + 5x^4, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y - x^2 - x^3$$
提示：求偏导时，将其他变量视为常数，逐项求导即可。
目标：求二阶偏导数
在得到一阶偏导数后，继续对每个一阶偏导数求偏导，得到三个二阶偏导数。
首先，对 $f_x(x,y) = -2xy - 3x^2y + 5x^4$ 再次关于 $x$ 求偏导（将 $y$ 视为常数）：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(-2xy - 3x^2y + 5x^4) = -2y - 6xy + 20x^3.
$$
其次，对 $f_x(x,y)$ 关于 $y$ 求偏导（将 $x$ 视为常数），得到混合偏导数：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2xy - 3x^2y + 5x^4) = -2x - 3x^2.
$$
注意，由于函数 $f(x,y)$ 具有连续的二阶偏导数（多项式函数），混合偏导数与求导顺序无关，因此 $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ 与上述结果相同。
最后，对 $f_y(x,y) = -x^2 - 3x^2y + 2y$ 关于 $y$ 求偏导（将 $x$ 视为常数）：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(-x^2 - 3x^2y + 2y) = -3x^2 + 2.
$$
至此，三个二阶偏导数全部求出。
公式：$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2y - 6xy + 20x^3, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -2x - 3x^2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2 - 3x^2.$$
提示：求二阶偏导时，每次只对一个变量求导，其余变量视为常数，并注意多项式求导法则。
目标：判别驻点(0,0)
对于驻点$(0,0)$，首先计算二阶偏导数。由前一步骤已知：$f_{xx}(x,y)=2y$，$f_{xy}(x,y)=2x+2y$，$f_{yy}(x,y)=2x+2$。代入$(0,0)$得：$A=f_{xx}(0,0)=0$，$B=f_{xy}(0,0)=0$，$C=f_{yy}(0,0)=2$。计算判别式$\Delta=AC-B^2=0\times2-0^2=0$，判别法失效，无法直接判断是否为极值点。
此时需用定义法判断。考虑沿不同路径趋近$(0,0)$时函数值$f(x,y)=x^2y+xy^2$的符号变化。
**路径1：** 取$y=x$，则$f(x,x)=x^2\cdot x+x\cdot x^2=2x^3$。当$x>0$时，$f>0$；当$x<0$时，$f<0$。但我们需要考察$(0,0)$附近是否恒正或恒负。实际上，沿此路径，当$x$从负到正变化时，$f$变号，说明$(0,0)$不是极值点？注意：极值点要求在该点某邻域内函数值恒大于（或恒小于）$f(0,0)=0$。沿$y=x$路径，在$x>0$的小邻域内$f>0$，在$x<0$的小邻域内$f<0$，但$y=x$路径本身经过原点，且原点两侧符号相反，这已经表明在原点附近函数值有正有负，因此$(0,0)$不可能是极值点。
**路径2：** 取$y=0.5x^2$，则$f(x,0.5x^2)=x^2\cdot0.5x^2+x\cdot(0.5x^2)^2=0.5x^4+0.25x^5$。当$x$充分小时，$x^5$项远小于$x^4$项，故$f\approx0.5x^4>0$（对$x\neq0$）。但此路径上函数值恒正，与路径1的变号矛盾？实际上，路径1已经证明存在点使$f<0$（例如取$x=-0.1$，$y=-0.1$，则$f=2(-0.1)^3=-0.002<0$），而路径2上$f>0$，故$(0,0)$不是极值点。
综上，$(0,0)$不是极值点。
公式：$$\Delta=AC-B^2=0\times2-0^2=0$$
提示：判别法失效时，取特殊路径（如y=kx, y=kx²等）观察函数值符号变化。
目标：判别驻点(1,1)
对于驻点$(1,1)$，我们需要利用二阶偏导数判别其是否为极值点。首先计算该点处的二阶偏导数值：
$$A = f_{xx}(1,1) = 12, \quad B = f_{xy}(1,1) = -5, \quad C = f_{yy}(1,1) = 2.$$
接着计算判别式 $\Delta = AC - B^2$：
$$\Delta = 12 \times 2 - (-5)^2 = 24 - 25 = -1 < 0.$$
根据二元函数极值的充分条件：
- 若 $\Delta > 0$ 且 $A > 0$，则函数在该点取得极小值；
- 若 $\Delta > 0$ 且 $A < 0$，则函数在该点取得极大值；
- 若 $\Delta < 0$，则函数在该点不取极值（该点为鞍点）；
- 若 $\Delta = 0$，则需进一步判定。
由于 $\Delta = -1 < 0$，因此 $(1,1)$ 不是极值点，而是一个鞍点。
公式：$$\Delta = AC - B^2 = 12 \times 2 - (-5)^2 = -1 < 0$$
提示：牢记判别式$\Delta=AC-B^2$，负值对应鞍点，正值再结合A的符号判断极值类型。
目标：判别驻点(2/3,10/27)并求极小值
对于驻点 $(\frac{2}{3},\frac{10}{27})$，首先计算二阶偏导数。由前几步已知：
$$f_{xx}(x,y)=2y+2, \quad f_{xy}(x,y)=2x-2y, \quad f_{yy}(x,y)=2-2x.$$
代入 $x=\frac{2}{3}, y=\frac{10}{27}$，得：
$$A = f_{xx}\left(\frac{2}{3},\frac{10}{27}\right)=2\cdot\frac{10}{27}+2=\frac{20}{27}+2=\frac{20}{27}+\frac{54}{27}=\frac{74}{27}.$$
$$B = f_{xy}\left(\frac{2}{3},\frac{10}{27}\right)=2\cdot\frac{2}{3}-2\cdot\frac{10}{27}=\frac{4}{3}-\frac{20}{27}=\frac{36}{27}-\frac{20}{27}=\frac{16}{27}.$$
$$C = f_{yy}\left(\frac{2}{3},\frac{10}{27}\right)=2-2\cdot\frac{2}{3}=2-\frac{4}{3}=\frac{6}{3}-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}.$$
计算判别式：
$$AC-B^2 = \frac{74}{27}\cdot\frac{2}{3} - \left(\frac{16}{27}\right)^2 = \frac{148}{81} - \frac{256}{729} = \frac{1332}{729} - \frac{256}{729} = \frac{1076}{729} > 0.$$
由于 $A=\frac{74}{27}>0$ 且 $AC-B^2>0$，根据极值判别法，该驻点为极小值点。
计算极小值：
$$f\left(\frac{2}{3},\frac{10}{27}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot\frac{10}{27} + \frac{10}{27}\cdot\frac{2}{3} - \left(\frac{2}{3}\right)^3 - \left(\frac{10}{27}\right)^2 + \frac{2}{3}\cdot\frac{10}{27}$$
先逐项计算：
$\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot\frac{10}{27} = \frac{4}{9}\cdot\frac{10}{27} = \frac{40}{243}$，
$\frac{10}{27}\cdot\frac{2}{3} = \frac{20}{81} = \frac{60}{243}$，
$-\left(\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27} = -\frac{72}{243}$，
$-\left(\frac{10}{27}\right)^2 = -\frac{100}{729} = -\frac{100}{729}$，
$\frac{2}{3}\cdot\frac{10}{27} = \frac{20}{81} = \frac{60}{243}$。
将分母统一为 $729$：
$\frac{40}{243} = \frac{120}{729}$，$\frac{60}{243} = \frac{180}{729}$，$-\frac{72}{243} = -\frac{216}{729}$，$\frac{60}{243} = \frac{180}{729}$。
合并：
$$\frac{120}{729} + \frac{180}{729} - \frac{216}{729} - \frac{100}{729} + \frac{180}{729} = \frac{120+180-216-100+180}{729} = \frac{164}{729}.$$
因此极小值为 $\frac{164}{729}$。
最终答案验证：原函数在 $(\frac{2}{3},\frac{10}{27})$ 处取得极小值 $\frac{164}{729}$。
公式：$$AC-B^2 = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2, \quad \text{若}A>0\text{且}AC-B^2>0\text{则极小值}$$
提示：计算判别式时先通分再相减，避免分数运算错误；注意A的符号与判别式结合判断极值类型。