2023年考研数学一第1题

根据斜渐近线的定义，若曲线 $y=f(x)$ 有斜渐近线 $y=kx+b$，则斜率 $k$ 由极限 $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ 给出。本题中 $f(x) = \ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right)$，因此计算： $$k = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right)}{x} = \lim_{x \to \infty} \ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right)^{1/x}.$$ 由于 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x-1} \to 0$，故 $e + \frac{1}{x-1} \to e$。但注意极限形式为 $\frac{\ln(\cdot)}{x}$，不能直接代入。更严谨的做法是： $$k = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln e + \ln\left(1 + \frac{1}{e(x-1)}\right)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln\left(1 + \frac{1}{e(x-1)}\right)}{x}.$$ 当 $x \to \infty$ 时，$\ln\left(1 + \frac{1}{e(x-1)}\right) \sim \frac{1}{e(x-1)}$，因此分子趋于 $1$，分母趋于无穷，故极限为 $0$？但步骤概要中给出 $k=1$，说明此处需重新审视。实际上，斜渐近线斜率公式为 $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{y}{x}$，但 $y = \ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right)$ 当 $x \to \infty$ 时趋于 $\ln e = 1$，因此 $\frac{y}{x} \to \frac{1}{\infty} = 0$，这显然不是 $1$。 正确理解：斜渐近线斜率公式应为 $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，但这里 $f(x)$ 本身趋于常数 $1$，所以 $k=0$，即水平渐近线。然而题目要求斜渐近线，说明 $f(x)$ 应为 $\ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right)$ 的某种变形？检查原题：可能 $y = \ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right)$ 本身，但 $x \to \infty$ 时 $y \to 1$，故有水平渐近线 $y=1$，斜渐近线不存在。但步骤概要中写 $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \ln e = 1$，这显然是错误的，因为 $\frac{y}{x}$ 的极限应为 $0$。 实际上，步骤概要中的写法 $k = \lim\limits_{x \to \infty} y/x = \lim\limits_{x \to \infty} \ln(e+1/(x-1))$ 省略了分母 $x$？仔细看：$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(e+1/(x-1))}{x}$，而 $\ln(e+1/(x-1)) \to 1$，所以极限为 $0$。但步骤概要却直接得到 $\ln e = 1$，这显然矛盾。 因此，此处可能题目有误或步骤概要表述不清。根据常见题型，若 $y = x \ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right)$，则 $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right) = \ln e = 1$。故推测原函数应为 $y = x \ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right)$。 基于此，我们按正确函数 $y = x \ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right)$ 计算斜率： $$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right) = \ln e = 1.$$ 因此斜率 $k=1$。

在第一步中我们已经求出了斜率 $k = 1$，因此斜渐近线的方程为 $y = x + b$，其中截距 $b$ 由极限 $b = \lim_{x \to \infty} (y - kx)$ 确定。将 $k = 1$ 代入，得到 $b = \lim_{x \to \infty} \left[ x \ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right) - x \right]$。为了便于计算，将 $x$ 提取公因式：$b = \lim_{x \to \infty} x \left[ \ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right) - 1 \right]$。这就是截距 $b$ 的表达式。注意，这里 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x-1} \to 0$，因此括号内的部分趋于 $\ln e - 1 = 0$，属于 $\infty \cdot 0$ 型未定式，需要进一步处理。

本步骤的目标是对表达式 $\ln\left(e+\frac{1}{x-1}\right) - 1$ 进行化简。观察发现，$\ln\left(e+\frac{1}{x-1}\right) - 1 = \ln\left(e+\frac{1}{x-1}\right) - \ln e$，因为 $\ln e = 1$。利用对数的减法性质：$\ln A - \ln B = \ln\frac{A}{B}$，可得： $$ \ln\left(e+\frac{1}{x-1}\right) - 1 = \ln\frac{e+\frac{1}{x-1}}{e} = \ln\left(1 + \frac{1}{e(x-1)}\right). $$ 详细推导过程如下： 首先，将 $1$ 写成 $\ln e$： $$ \ln\left(e+\frac{1}{x-1}\right) - 1 = \ln\left(e+\frac{1}{x-1}\right) - \ln e. $$ 然后，应用对数减法法则： $$ \ln\left(e+\frac{1}{x-1}\right) - \ln e = \ln\frac{e+\frac{1}{x-1}}{e}. $$ 接着，化简分式： $$ \frac{e+\frac{1}{x-1}}{e} = 1 + \frac{1}{e(x-1)}. $$ 因此，原式化为： $$ \ln\left(e+\frac{1}{x-1}\right) - 1 = \ln\left(1 + \frac{1}{e(x-1)}\right). $$ 这个化简结果在后续步骤中会用于处理极限或积分等运算，它将复杂的对数差转化为一个更简洁的对数形式，便于进一步分析。

在第三步中，我们已将原极限转化为 $b = \lim_{x \to \infty} x \ln\left[1+\frac{1}{e(x-1)}\right]$。现在考虑当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{e(x-1)} \to 0$，因此可以利用等价无穷小替换：当 $u \to 0$ 时，$\ln(1+u) \sim u$。令 $u = \frac{1}{e(x-1)}$，则当 $x \to \infty$ 时 $u \to 0$，于是 $$ \ln\left[1+\frac{1}{e(x-1)}\right] \sim \frac{1}{e(x-1)}. $$ 将这一等价关系代入极限表达式，得到 $$ b = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{e(x-1)} = \frac{1}{e} \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-1}. $$ 计算极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-1}$：分子分母同时除以 $x$，得 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1-\frac{1}{x}} = \frac{1}{1-0} = 1. $$ 因此 $$ b = \frac{1}{e} \cdot 1 = \frac{1}{e}. $$ 至此，我们求出了极限 $b = \frac{1}{e}$。注意，等价无穷小替换要求被替换的量在极限过程中趋于零，这里 $\frac{1}{e(x-1)} \to 0$ 满足条件，且替换后极限存在，故替换有效。

由前几步计算已得到斜率 $k = 1$ 和截距 $b = \frac{1}{e}$。斜渐近线的一般形式为 $y = kx + b$，因此直接代入得斜渐近线方程为： $$ y = x + \frac{1}{e}. $$ 对照题目选项，该方程对应选项 B。 **验证**：斜渐近线方程的正确性可通过极限定义验证。对于函数 $f(x)$，若存在直线 $y = kx + b$ 满足 $\lim_{x \to \infty} [f(x) - (kx + b)] = 0$，则该直线为斜渐近线。本题中，由前序步骤已证明 $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 1$，$b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - x] = \frac{1}{e}$，故所得方程满足定义。 因此，最终答案为 $y = x + \frac{1}{e}$，即选项 B。