2005年考研数学一第8题

选项A的表述为：若$f(x)$是连续的奇函数，则其原函数$F(x)=\int_0^x f(t)dt$是偶函数。我们需要验证这个命题是否正确，并进一步分析$F(x)$是偶函数与$f(x)$是奇函数之间的逻辑关系。 首先，设$f(x)$是连续的奇函数，即$f(-x)=-f(x)$。考虑$F(-x)=\int_0^{-x} f(t)dt$，令$u=-t$，则$t=-u$，$dt=-du$，当$t=0$时$u=0$，当$t=-x$时$u=x$，于是 $$F(-x)=\int_0^{-x} f(t)dt = \int_0^{x} f(-u)(-du) = \int_0^{x} (-f(u))(-du) = \int_0^{x} f(u)du = F(x).$$ 因此$F(x)$是偶函数。这说明由$f(x)$是奇函数可以推出$F(x)$是偶函数。 反之，若$F(x)$是偶函数，即$F(-x)=F(x)$，两边对$x$求导得$-F'(-x)=F'(x)$，而$F'(x)=f(x)$，所以$-f(-x)=f(x)$，即$f(-x)=-f(x)$，故$f(x)$是奇函数。因此$f(x)$是奇函数与$F(x)$是偶函数互为充要条件。 注意：这里$F(x)$定义为从0到$x$的积分，即$F(0)=0$。如果原函数定义为不定积分（含任意常数），则结论需要调整：若$f(x)$是奇函数，则其任意一个原函数$\Phi(x)=F(x)+C$，$\Phi(-x)=F(-x)+C=F(x)+C$，只有当$C=0$时$\Phi(x)$才是偶函数。但题目中$F(x)$明确为$\int_0^x f(t)dt$，因此上述充要关系成立。 所以选项A正确。

选项B的表述为：若$f(x)$是连续的偶函数，则$f(x)$的任意一个原函数都是奇函数。我们需要判断该命题是否正确。 首先，回顾原函数与奇偶性的关系。设$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，即$F'(x)=f(x)$。若$f(x)$是偶函数，即$f(-x)=f(x)$，则$F(x)$的奇偶性取决于常数项的选择。 取一个具体的反例：令$f(x)=3x^2$。显然$f(-x)=3(-x)^2=3x^2=f(x)$，所以$f(x)$是偶函数。$f(x)$的一个原函数为$F(x)=x^3+C$，其中$C$为任意常数。当$C \neq 0$时，例如取$C=1$，则$F(x)=x^3+1$。计算$F(-x)=(-x)^3+1=-x^3+1$，而$-F(x)=-(x^3+1)=-x^3-1$。显然$F(-x) \neq -F(x)$，因此$F(x)$不是奇函数。 这个反例说明：存在连续的偶函数$f(x)$，其原函数$F(x)$（当常数$C \neq 0$时）不是奇函数。因此，选项B的结论“任意一个原函数都是奇函数”是错误的，必要性不成立。 实际上，对于连续的偶函数$f(x)$，其原函数$F(x)$为奇函数的充要条件是$F(0)=0$，即常数项为零。但选项B声称“任意一个原函数”都满足，这显然不成立。

选项C的表述为：“若$f(x)$是周期函数，则其原函数$F(x)$也是周期函数”。我们需要判断这一命题是否正确。 考虑函数$f(x)=\cos x-1$。显然，$\cos x$是周期为$2\pi$的周期函数，常数$-1$也是周期函数（任何正数都是其周期），因此$f(x)=\cos x-1$是周期为$2\pi$的周期函数。 现在求$f(x)$的一个原函数。对$f(x)$积分： $$\int (\cos x-1)\,dx = \sin x - x + C,$$ 其中$C$为任意常数。取$C=0$，得到原函数$F(x)=\sin x - x$。 检查$F(x)$是否为周期函数。假设$F(x)$有周期$T>0$，则对任意$x$应有$F(x+T)=F(x)$，即 $$\sin(x+T)-(x+T)=\sin x - x.$$ 整理得 $$\sin(x+T)-\sin x = T.$$ 左边$|\sin(x+T)-\sin x|\leq 2$，而右边$T$可以取任意大的正值，当$T>2$时等式不可能成立。特别地，取$T=2\pi$（$f(x)$的周期），左边$\sin(x+2\pi)-\sin x=0$，右边$T=2\pi$，矛盾。因此$F(x)$不是周期函数。 这个反例表明：即使$f(x)$是周期函数，其原函数也不一定是周期函数。因此选项C的结论（必要性）不成立。 注意：原函数$F(x)$为周期函数的必要条件是$f(x)$在一个周期上的积分为零（即$\int_0^T f(x)\,dx=0$）。本例中$\int_0^{2\pi}(\cos x-1)\,dx = 0-2\pi = -2\pi \neq 0$，故原函数不是周期函数。

选项D的表述为：“若$f(x)$是单调函数，则其原函数$F(x)$也是单调函数”。我们需要判断这一命题是否正确。 首先，明确单调函数的定义：若$f(x)$在区间$I$上单调递增，则对任意$x_10$）。其一个原函数为$F(x)=x^2+C$（$C$为任意常数）。取$C=0$，则$F(x)=x^2$。 考察$F(x)=x^2$的单调性：当$x<0$时，$F'(x)=2x<0$，$F(x)$单调递减；当$x>0$时，$F'(x)=2x>0$，$F(x)$单调递增。因此$F(x)$在$(-\infty,+\infty)$上不是单调函数（它在$x=0$处由减变增）。 这个反例说明：即使$f(x)$是单调函数，其原函数$F(x)$也不一定是单调函数。因此选项D的结论“若$f(x)$单调则$F(x)$单调”是错误的，即必要性不成立。 进一步分析：$f(x)$的单调性只能保证$F'(x)$的符号不变，但$F(x)$的单调性取决于$f(x)$是否恒正或恒负。若$f(x)$单调递增但可正可负（如$f(x)=2x$），则$F(x)$先减后增，不是单调函数。只有当$f(x)$恒正或恒负时，$F(x)$才单调。因此选项D的推理是片面的。

综合前四步的分析，我们逐一验证了四个选项的正确性。 **选项A**：由前几步推导可知，$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，且$f(x)$与$g(x)$在$x=0$处均为无穷小，因此$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小，选项A正确。 **选项B**：反例$f(x)=x+2x^2\sin\frac{1}{x}$，$g(x)=x$，满足$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，但$f(x)-g(x)=2x^2\sin\frac{1}{x}$不是$x$的高阶无穷小（因为$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=0$，实际上是高阶无穷小，但题目要求“不是”，此处反例需调整。更合适的反例：$f(x)=x+x^2$，$g(x)=x$，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，但$f(x)-g(x)=x^2$是$x$的高阶无穷小，故B错误。 **选项C**：反例$f(x)=x$，$g(x)=x$，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，但$f(x)-g(x)=0$，$0$是$x$的高阶无穷小（因为$\lim_{x \to 0} \frac{0}{x}=0$），故C错误。 **选项D**：反例$f(x)=x+\sin x$，$g(x)=x$，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \left(1+\frac{\sin x}{x}\right)=2$，不满足条件。若取$f(x)=x+\sin x$，$g(x)=x+\sin x$，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，但$f(x)-g(x)=0$，不是$x$的低阶无穷小，故D错误。 因此，只有选项A正确。最终答案选A。 **验证**：取$f(x)=x$，$g(x)=x$，满足$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，且$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小，符合A。其他选项均有反例，故A正确。