2023年考研数学一第3题

已知参数方程： $$ \begin{cases} x = \begin{cases} 3t, & t \geq 0 \\ t, & t < 0 \end{cases} \\ y = \begin{cases} t \sin t, & t \geq 0 \\ -t \sin t, & t < 0 \end{cases} \end{cases} $$ 我们需要消去参数 $t$，得到 $y$ 关于 $x$ 的分段表达式。 **当 $t \geq 0$ 时：** 此时 $x = 3t$，解得 $t = \frac{x}{3}$。由于 $t \geq 0$，故 $x \geq 0$。 将 $t = \frac{x}{3}$ 代入 $y = t \sin t$，得 $$ y = \frac{x}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right). $$ **当 $t < 0$ 时：** 此时 $x = t$，且 $t < 0$，故 $x < 0$。 将 $x = t$ 代入 $y = -t \sin t$，得 $$ y = -x \sin x. $$ 因此，消参后得到 $y = f(x)$ 的分段表达式为： $$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{3} \sin\left(\dfrac{x}{3}\right), & x \geq 0 \\ -x \sin x, & x < 0 \end{cases} $$

要判断函数$f(x)$在$x=0$处的连续性，需要验证以下三个条件是否同时成立： 1. $f(0)$有定义； 2. $\lim_{x \to 0} f(x)$存在； 3. $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。 首先，由题目已知$f(0)=0$，因此条件1满足。 接下来计算左右极限。 **右极限**：当$x \to 0^+$时，$x>0$，根据函数定义，$f(x) = \frac{x}{3} \sin\frac{x}{3}$。由于$\left|\sin\frac{x}{3}\right| \leq 1$，故 $$ \left|\frac{x}{3} \sin\frac{x}{3}\right| \leq \frac{|x|}{3} \to 0 \quad (x \to 0^+), $$ 由夹逼定理得 $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{3} \sin\frac{x}{3} = 0. $$ **左极限**：当$x \to 0^-$时，$x<0$，根据函数定义，$f(x) = -x \sin x$。由于$\left|\sin x\right| \leq 1$，故 $$ \left| -x \sin x \right| = |x| \cdot |\sin x| \leq |x| \to 0 \quad (x \to 0^-), $$ 由夹逼定理得 $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x \sin x) = 0. $$ 左右极限相等且均为0，因此极限$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$存在，条件2满足。 最后，$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$，条件3也满足。 综上所述，函数$f(x)$在$x=0$处连续。

我们需要计算函数$f(x)$在$x=0$处的导数$f'(0)$，并判断其是否存在。由于$f(x)$在$x=0$处可能由不同表达式定义，因此必须使用导数的定义，分别考虑右导数和左导数。 首先，右导数定义为： $$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}.$$ 根据题目条件，当$x>0$时，$f(x)=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}$，代入得： $$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}.$$ 由于$\sin\frac{x}{3}\to 0$（当$x\to 0^+$），所以： $$f'_+(0)=\frac{1}{3}\times 0=0.$$ 其次，左导数定义为： $$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)}{x}.$$ 当$x<0$时，$f(x)=-x\sin x$，代入得： $$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{-x\sin x}{x}=\lim_{x\to 0^-}(-\sin x).$$ 由于$\sin x\to 0$（当$x\to 0^-$），所以： $$f'_-(0)=-0=0.$$ 由于右导数$f'_+(0)=0$，左导数$f'_-(0)=0$，两者相等，因此导数$f'(0)$存在，且$f'(0)=0$。 综上，我们得到$f'(0)=0$，且导数存在。

首先，根据题目已知的分段函数定义，分别对$x>0$和$x<0$的表达式求导。 当$x>0$时，$f(x)=\sin\frac{x}{3}$，由复合函数求导法则得： $$f'(x)=\frac{1}{3}\cos\frac{x}{3}.$$ 但题目中给出的导函数形式为$f'(x)=\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}+\frac{x}{9}\cos\frac{x}{3}$，这提示原函数在$x>0$时实际上可能是$f(x)=x\sin\frac{x}{3}$？需要核对原题。根据常见题型，此处假设原函数为$f(x)=x\sin\frac{x}{3}$（$x>0$），则求导得： $$f'(x)=\sin\frac{x}{3}+x\cdot\frac{1}{3}\cos\frac{x}{3}=\sin\frac{x}{3}+\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}.$$ 但题目给出的系数为$\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}+\frac{x}{9}\cos\frac{x}{3}$，可能原函数为$f(x)=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}$？为避免混淆，我们严格按照题目步骤概要中的表达式进行推导。 实际上，步骤概要已明确给出导函数形式： - 当$x>0$时，$f'(x)=\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}+\frac{x}{9}\cos\frac{x}{3}$； - 当$x<0$时，$f'(x)=-\sin x - x\cos x$； - 在$x=0$处，由导数定义可求得$f'(0)=0$（此步骤已在之前完成）。 现在，我们计算$f'(x)$在$x=0$处的左右极限，以判断连续性。 左极限：$\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}(-\sin x - x\cos x)$。 当$x\to 0$时，$\sin x\sim x$，$\cos x\to 1$，故 $$\lim\limits_{x\to 0^-}(-\sin x - x\cos x)=\lim\limits_{x\to 0^-}(-x - x\cdot 1)=0.$$ 右极限：$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}+\frac{x}{9}\cos\frac{x}{3}\right)$。 当$x\to 0$时，$\sin\frac{x}{3}\sim\frac{x}{3}$，$\cos\frac{x}{3}\to 1$，故 $$\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{x}{3}+\frac{x}{9}\cdot 1\right)=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\frac{x}{9}+\frac{x}{9}\right)=0.$$ 左右极限均等于$f'(0)=0$，因此$f'(x)$在$x=0$处连续。

要判断$f''(0)$是否存在，需利用导数的定义分别计算$x=0$处的右二阶导数和左二阶导数。 首先，由前序步骤已求得： - 当$x>0$时，$f'(x)=\frac{2}{9}x^{\frac{1}{3}}$； - 当$x<0$时，$f'(x)=-2x^{\frac{1}{3}}$； - 且$f'(0)=0$。 根据二阶导数的定义： $$f''(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{x}.$$ **计算右二阶导数：** 当$x\to 0^+$时，$f'(x)=\frac{2}{9}x^{\frac{1}{3}}$，代入得 $$\lim_{x\to 0^+}\frac{f'(x)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{2}{9}x^{\frac{1}{3}}}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{2}{9}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{2}{9}\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}.$$ 由于$x^{\frac{2}{3}}\to 0^+$，故$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\to +\infty$，因此右二阶导数为$+\infty$，即极限不存在（无穷大）。 **计算左二阶导数：** 当$x\to 0^-$时，$f'(x)=-2x^{\frac{1}{3}}$，注意此时$x<0$，$x^{\frac{1}{3}}$为负实数（例如$(-8)^{\frac{1}{3}}=-2$），代入得 $$\lim_{x\to 0^-}\frac{f'(x)}{x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{-2x^{\frac{1}{3}}}{x}=\lim_{x\to 0^-}-2x^{-\frac{2}{3}}.$$ 由于$x\to 0^-$时，$x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{(x^{\frac{1}{3}})^2}>0$且趋于$+\infty$，故$-2x^{-\frac{2}{3}}\to -\infty$，即左二阶导数为$-\infty$，极限也不存在。 左右二阶导数不相等（一个趋于$+\infty$，一个趋于$-\infty$），因此$f''(0)$不存在。 **最终答案验证：** 函数$f(x)=\begin{cases} x^{\frac{4}{3}}, & x\ge 0 \\ -x^{\frac{4}{3}}, & x<0 \end{cases}$在$x=0$处一阶可导，但二阶导数不存在，因为左右导数趋向于不同方向的无穷大。