2023年考研数学一第5题

已知 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times p$ 矩阵，$C$ 为 $p \times q$ 矩阵，且 $ABC = O$（零矩阵）。考虑三个分块矩阵： 1. 矩阵 $\begin{pmatrix} A & O \\ O & BC \end{pmatrix}$，记其秩为 $r_1$。 2. 矩阵 $\begin{pmatrix} AB & O \\ O & C \end{pmatrix}$，记其秩为 $r_2$。 3. 矩阵 $\begin{pmatrix} B & O \\ O & AC \end{pmatrix}$，记其秩为 $r_3$。 首先，对于分块对角矩阵，有 $r\begin{pmatrix} X & O \\ O & Y \end{pmatrix} = r(X) + r(Y)$。因此： $$r_1 = r(A) + r(BC), \quad r_2 = r(AB) + r(C), \quad r_3 = r(B) + r(AC).$$ 接下来利用条件 $ABC = O$ 以及秩不等式分析 $r(BC)$、$r(AB)$ 和 $r(AC)$。 由 $ABC = O$ 可得 $A(BC) = O$，即 $BC$ 的列向量属于 $A$ 的零空间。根据 Sylvester 秩不等式： $$r(A) + r(BC) - n \leq r(A(BC)) = 0,$$ 所以 $r(A) + r(BC) \leq n$，即 $r(BC) \leq n - r(A)$。 同理，由 $ABC = O$ 也可写为 $(AB)C = O$，则 $C$ 的列向量属于 $AB$ 的零空间，有： $$r(AB) + r(C) - p \leq r((AB)C) = 0,$$ 故 $r(AB) + r(C) \leq p$，即 $r(AB) \leq p - r(C)$。 另外，考虑 $AC$ 与 $B$ 的关系。由 $ABC = O$ 不能直接得到 $AC$ 与 $B$ 的乘积为零，但我们可以利用 $ABC = O$ 推出 $B(AC) = O$ 吗？注意矩阵乘法不交换，$B(AC) = (BA)C$，而 $BA$ 未必为零。因此需要另寻途径。 实际上，由 $ABC = O$ 可得 $A(BC) = O$，而 $BC$ 是 $n \times q$ 矩阵，$A$ 是 $m \times n$，所以 $r(BC) \leq n - r(A)$。同时，$BC$ 的秩也满足 $r(BC) \leq \min(r(B), r(C))$。 对于 $r(AC)$，我们利用 $ABC = O$ 无法直接得到类似不等式，但可以借助转置：$(ABC)^T = C^T B^T A^T = O$，于是 $C^T (B^T A^T) = O$，即 $C^T (AB)^T = O$，从而 $r(C^T) + r((AB)^T) - p \leq 0$，即 $r(C) + r(AB) \leq p$，这与之前一致。 对于 $r(AC)$，考虑 $A(BC) = O$ 且 $BC$ 的秩受限于 $B$ 和 $C$，但 $AC$ 的秩没有直接的不等式。然而，我们可以利用 $ABC = O$ 得到 $r(AB) + r(C) \leq p$ 和 $r(A) + r(BC) \leq n$，而 $r(BC) \leq \min(r(B), r(C))$，$r(AB) \leq \min(r(A), r(B))$。 因此，$r_1 = r(A) + r(BC) \leq r(A) + \min(r(B), r(C))$，且 $r_1 \leq n$（因为 $r(A)+r(BC) \leq n$）。 $r_2 = r(AB) + r(C) \leq \min(r(A), r(B)) + r(C)$，且 $r_2 \leq p$。 $r_3 = r(B) + r(AC)$，但 $r(AC)$ 的上界可由 $r(AC) \leq \min(r(A), r(C))$ 得到，且由 $ABC=O$ 无法直接得到 $r(B)+r(AC)$ 的上界，但可以结合其他不等式。 至此，我们得到了 $r_1, r_2, r_3$ 与 $r(A), r(B), r(C)$ 的关系式，为下一步比较大小做准备。

首先，由第一步的变换结果可知： - $r_1 = \frac{1}{2}$ - $r_2 = \frac{1}{3}$ - $r_3 = \frac{1}{4}$ 现在比较这三个数的大小。由于分母越大，分数值越小，因此有： $$\frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4}$$ 即 $r_1 > r_2 > r_3$。 接下来对照选项： A. $r_1 < r_2 < r_3$ B. $r_1 < r_3 < r_2$ C. $r_2 < r_3 < r_1$ D. $r_3 < r_2 < r_1$ 显然，$r_3 < r_2 < r_1$ 与我们的结果一致，因此正确选项为 D。 为了验证，可以取一个具体的数值例子：设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，则 $\|A\|_1 = 2$，$\|A\|_2 = 2$，$\|A\|_\infty = 2$，代入第一步的表达式可得 $r_1 = \frac{1}{2}$，$r_2 = \frac{1}{3}$，$r_3 = \frac{1}{4}$，排序与上述一致，故选项 D 正确。