2024年考研数学一第13题

根据傅里叶余弦级数的定义，对于定义在区间 $[0, \pi]$ 上的函数 $f(x) = x + 1$，其傅里叶余弦系数 $a_n$ 的计算公式为： $$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) \, dx, \quad n = 0, 1, 2, \dots$$ 注意：题目中给出的公式为 $\cos(n\pi x)$，但标准傅里叶余弦级数在区间 $[0, \pi]$ 上应使用 $\cos(nx)$，此处按标准形式计算。若题目明确为 $\cos(n\pi x)$，则需将积分区间和频率相应调整，但根据常见题型，此处采用 $\cos(nx)$。 代入 $f(x) = x + 1$，得到： $$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (x + 1) \cos(nx) \, dx$$ 将积分拆分为两项： $$a_n = \frac{2}{\pi} \left( \int_0^\pi x \cos(nx) \, dx + \int_0^\pi \cos(nx) \, dx \right)$$ 先计算第二个积分： $$\int_0^\pi \cos(nx) \, dx = \left. \frac{\sin(nx)}{n} \right|_0^\pi = \frac{\sin(n\pi)}{n} - \frac{\sin(0)}{n} = 0$$ 再计算第一个积分 $\int_0^\pi x \cos(nx) \, dx$，使用分部积分法。令 $u = x$，$dv = \cos(nx) \, dx$，则 $du = dx$，$v = \frac{\sin(nx)}{n}$。于是： $$\int_0^\pi x \cos(nx) \, dx = \left. x \cdot \frac{\sin(nx)}{n} \right|_0^\pi - \int_0^\pi \frac{\sin(nx)}{n} \, dx$$ $$= \frac{\pi \sin(n\pi)}{n} - 0 - \frac{1}{n} \int_0^\pi \sin(nx) \, dx$$ $$= 0 - \frac{1}{n} \left( -\frac{\cos(nx)}{n} \right) \Big|_0^\pi = \frac{1}{n^2} \left( \cos(n\pi) - \cos(0) \right)$$ $$= \frac{1}{n^2} \left( (-1)^n - 1 \right)$$ 因此， $$a_n = \frac{2}{\pi} \left( \frac{1}{n^2} \left( (-1)^n - 1 \right) + 0 \right) = \frac{2}{\pi n^2} \left( (-1)^n - 1 \right)$$ 注意：当 $n = 0$ 时，上述公式不适用（分母为零），需要单独计算 $a_0$： $$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (x+1) \, dx = \frac{2}{\pi} \left( \frac{\pi^2}{2} + \pi \right) = \pi + 2$$ 对于 $n \geq 1$，$a_n$ 的表达式如上。当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n - 1 = 0$，所以 $a_n = 0$；当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n - 1 = -2$，所以 $a_n = -\frac{4}{\pi n^2}$。

由递推关系可知，数列的通项公式为$a_n = \frac{1}{2}\left[1 - (-1)^n\right]$。为了得到奇数项$a_{2n-1}$的具体形式，我们将下标$n$替换为$2n-1$。代入得： $$a_{2n-1} = \frac{1}{2}\left[1 - (-1)^{2n-1}\right]$$ 接下来化简指数部分。由于$2n-1$是奇数，因此$(-1)^{2n-1} = -1$。于是： $$a_{2n-1} = \frac{1}{2}\left[1 - (-1)\right] = \frac{1}{2}(1+1) = \frac{1}{2} \times 2 = 1$$ 所以，对于任意正整数$n$，奇数项$a_{2n-1}$恒等于1。这表明数列的所有奇数项均为常数1。

由前一步已知，当$n\to\infty$时，$a_{2n-1}\to0$，因此$a_{2n-1}$是无穷小量。在极限$\lim\limits_{n\to\infty} n^2 \sin a_{2n-1}$中，由于$\sin u \sim u$（当$u\to0$时），我们可以将$\sin a_{2n-1}$替换为$a_{2n-1}$，从而将原极限转化为$\lim\limits_{n\to\infty} n^2 a_{2n-1}$。具体地，根据等价无穷小替换定理：若$\lim u = 0$且$u\neq0$，则$\sin u \sim u$，即$\lim\frac{\sin u}{u}=1$。因此， $$ \lim_{n\to\infty} n^2 \sin a_{2n-1} = \lim_{n\to\infty} n^2 a_{2n-1} \cdot \frac{\sin a_{2n-1}}{a_{2n-1}} = \lim_{n\to\infty} n^2 a_{2n-1} \cdot 1 = \lim_{n\to\infty} n^2 a_{2n-1}. $$ 这样，我们成功将含有三角函数的极限简化为仅含$a_{2n-1}$的极限，为后续利用$a_{2n-1}$的表达式或递推关系求值做好准备。注意，这里要求$a_{2n-1}\neq0$（在$n$充分大时成立），且替换后极限的存在性等价于原极限的存在性。

由前一步已知数列 $a_n$ 满足递推关系，且已得到奇数项的通项表达式 $a_{2n-1} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}$。现在需要计算极限 $\lim_{n \to \infty} n^2 a_{2n-1}$。 将 $a_{2n-1}$ 代入： $$ n^2 a_{2n-1} = n^2 \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \right). $$ 先通分括号内的部分： $$ \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = \frac{2n - (2n-1)}{(2n-1)(2n)} = \frac{1}{(2n-1)(2n)}. $$ 因此， $$ n^2 a_{2n-1} = n^2 \cdot \frac{1}{(2n-1)(2n)} = \frac{n^2}{2n(2n-1)} = \frac{n}{2(2n-1)}. $$ 进一步化简： $$ \frac{n}{2(2n-1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{2n-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 - \frac{1}{n}}. $$ 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，所以 $$ \lim_{n \to \infty} n^2 a_{2n-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 - 0} = \frac{1}{4}. $$ 因此，所求极限值为 $\frac{1}{4}$。 验证：取 $n=100$，$a_{199} = \frac{1}{199} - \frac{1}{200} \approx 0.0000251256$，$n^2 a_{199} = 10000 \times 0.0000251256 = 0.251256$，接近 $0.25$，结果合理。