2024年考研数学一第5题

对于由三个平面方程组成的线性方程组，我们分析其解的情况。设方程组为： $$ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases} $$ 写成矩阵形式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，其中 $A$ 是 $3\times 3$ 系数矩阵。 首先计算系数矩阵的行列式 $\det(A)$。若 $\det(A) \neq 0$，则方程组有唯一解，对应三个平面交于一点。若 $\det(A) = 0$，则矩阵奇异，此时需要进一步判断秩的情况。 对于本题，已知方程组有无穷多解，且解空间为一条直线。这意味着系数矩阵 $A$ 的秩为 $2$（因为解空间维数 $= n - \text{rank}(A) = 3 - 2 = 1$），同时增广矩阵 $(A|\mathbf{b})$ 的秩也为 $2$，满足相容性条件。 具体地，我们通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形。例如： $$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & * & * & * \\ 0 & 1 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 最后一行全为零（包括常数项），说明三个方程线性相关，且其中一个方程是另外两个的线性组合。此时，方程组等价于两个独立的线性方程，它们确定一条直线（两个平面的交线），第三个平面也通过该直线，因此三个平面共线（交于同一条直线）。 因此，方程组解的情况为：有无穷多解，解集是一条直线，即解空间维数为1。

对于线性方程组 $Ax = b$，解的存在性与唯一性由系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $\bar{A} = [A \mid b]$ 的秩决定。根据线性方程组解的存在性定理： - 若 $\text{rank}(A) \neq \text{rank}(\bar{A})$，则方程组无解； - 若 $\text{rank}(A) = \text{rank}(\bar{A}) = n$（$n$ 为未知数个数），则方程组有唯一解； - 若 $\text{rank}(A) = \text{rank}(\bar{A}) < n$，则方程组有无穷多解。 本题中未知数个数为 $3$，题目条件要求方程组有无穷多解，因此必须满足： $$ \text{rank}(A) = \text{rank}(\bar{A}) < 3. $$ 设 $m = \text{rank}(A)$，$n = \text{rank}(\bar{A})$，则条件等价于 $m = n < 3$。 具体到本题的系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $\bar{A}$（由前几步已得到），我们需要计算它们的秩。设 $A$ 为 $3 \times 3$ 矩阵，$\bar{A}$ 为 $3 \times 4$ 矩阵。通过初等行变换将 $\bar{A}$ 化为行阶梯形，观察非零行数目。 假设经过行变换后，$\bar{A}$ 的行阶梯形为： $$ \begin{pmatrix} 1 & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ 0 & 1 & a_{23} & b_2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 则 $\text{rank}(\bar{A}) = 2$，且 $\text{rank}(A)$ 也为 $2$（因为系数矩阵部分同样只有两行非零），满足 $m = n = 2 < 3$，从而方程组有无穷多解。 若行阶梯形出现第三行非零但系数部分全为零而常数项非零的情况，则 $\text{rank}(A) = 2$，$\text{rank}(\bar{A}) = 3$，导致无解。因此必须确保行变换后第三行全为零，即系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于 $3$。 由此，我们可以列出关于参数（如 $a$ 或 $b$）的方程，通过令第三行全为零来求解参数取值。

由图示可知，两个平面的法向量分别为$\vec{n}_1=(1,1,1)$和$\vec{n}_2=(1,2,3)$。由于$\vec{n}_1$与$\vec{n}_2$不共线（即线性无关），因此系数矩阵$A$的秩至少为2。又因为题目条件$m<3$，而$m$为系数矩阵的秩，故$m$只能取2。因此系数矩阵的秩$r(A)=2$。同时，由于方程组有三个未知数，系数矩阵的秩为2，则对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数为$n-r=3-2=1$，即$n=1$。但此处步骤目标要求判断系数矩阵秩的具体值，故得到$m=2$。

根据前几步的推导，我们已经确定矩阵的秩满足条件，并且通过分析特征值和线性无关性，得出参数$m$和$n$的值均为2。具体而言，由矩阵的秩为2可知，矩阵的行列式为零且所有三阶子式为零，同时存在一个二阶子式非零。结合特征值的重数条件，解得$m=2$，$n=2$。 现在，我们对照题目给出的四个选项： - A. $m=1, n=2$ - B. $m=2, n=2$ - C. $m=2, n=1$ - D. $m=1, n=1$ 将$m=2$，$n=2$代入原矩阵进行验证： 设矩阵 $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & n \end{pmatrix}$$ 当$m=2$时，第二行与第一行成比例（比例因子为2），第三行前两个元素也与第一行成比例（比例因子为3），但第三个元素需满足$n=2$才能使第三行与第一行也成比例（$3\times3=9$，但实际为2，故不成比例）。实际上，当$m=2$时，矩阵第二行是第一行的2倍，第三行前两个元素是第一行的3倍，但第三个元素$n=2$与$3\times3=9$不同，因此第三行不是第一行的倍数，矩阵的秩为2（因为前两行线性相关，但第三行与第一行线性无关，实际上前两行秩为1，加上第三行后秩变为2）。 进一步验证：计算行列式$\det(A)=1\cdot(4\cdot2-6\cdot6)-2\cdot(2\cdot2-6\cdot3)+3\cdot(2\cdot6-4\cdot3)=1\cdot(8-36)-2\cdot(4-18)+3\cdot(12-12)=(-28)-2\cdot(-14)+0=-28+28=0$，行列式为零。所有三阶子式只有这一个，故秩小于3。而二阶子式$\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}=0$，但$\begin{vmatrix}1&3\\3&2\end{vmatrix}=1\cdot2-3\cdot3=2-9=-7\neq0$，所以秩至少为2，因此秩恰好为2。 所有条件满足，因此正确选项为B。