2026年考研数学一第12题

首先，观察原极限表达式： $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\ln(1+x)}{x} \right)$$ 注意第二项中 $\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\ln(1+x)}{x}$ 可以合并为 $\frac{\ln(1+x)}{x \sin x}$。因此原式可写为： $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{\ln(1+x)}{x \sin x} \right)$$ 为了进行通分，将第一项 $\frac{1}{x}$ 的分子分母同时乘以 $\sin x$，得到 $\frac{\sin x}{x \sin x}$。于是原式变为： $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x \sin x} - \frac{\ln(1+x)}{x \sin x} \right)$$ 由于分母相同，均为 $x \sin x$，因此可以将分子合并： $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \ln(1+x)}{x \sin x}$$ 至此，完成了通分合并的步骤，将原式化为一个分式的极限形式。注意，此时分母 $x \sin x$ 在 $x \to 0$ 时趋于 $0$，分子 $\sin x - \ln(1+x)$ 也趋于 $0$，因此这是一个 $\frac{0}{0}$ 型未定式，后续步骤可考虑使用等价无穷小替换或洛必达法则。

当 $x \to 0$ 时，分母中的 $\sin x$ 是无穷小量，根据等价无穷小替换公式：$\sin x \sim x$（$x \to 0$）。因此，分母 $x \sin x$ 可以等价替换为 $x \cdot x = x^2$。这一替换基于极限的乘积性质：若 $\alpha \sim \alpha'$，$\beta \sim \beta'$，则 $\alpha \beta \sim \alpha' \beta'$。于是原极限中的分母部分由 $x \sin x$ 简化为 $x^2$，使得后续计算更加简洁。注意：等价替换仅适用于乘除因子，此处分母整体为乘积形式，故替换合法。替换后，原极限表达式变为： $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{x^2}.$$

本步骤的目标是对分子中的 $\sin x$ 和 $\ln(1+x)$ 分别进行泰勒展开，以便后续计算极限。由于分母是 $x^3$ 阶，分子展开到 $x^3$ 项即可（保留 $o(x^3)$）。 首先，$\sin x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为： $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$ 取到 $x^3$ 项，并写出余项： $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ 其次，$\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为： $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$ 取到 $x^3$ 项，并写出余项： $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$ 将这两个展开式代入分子 $\sin x - \ln(1+x)$ 中： $$\sin x - \ln(1+x) = \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) - \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right)$$ 合并同类项： - $x$ 项：$x - x = 0$ - $x^2$ 项：$0 - \left(-\frac{x^2}{2}\right) = \frac{x^2}{2}$ - $x^3$ 项：$-\frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{3} = -\frac{x^3}{6} - \frac{2x^3}{6} = -\frac{x^3}{2}$ - 余项：$o(x^3) - o(x^3) = o(x^3)$（注意两个 $o(x^3)$ 相减仍为 $o(x^3)$） 因此，分子展开结果为： $$\sin x - \ln(1+x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{2} + o(x^3)$$ 这个结果将用于下一步与分母 $x^3$ 作比，从而求出极限。

本步骤的目标是对分子 $\sin x - \ln(1+x)$ 进行泰勒展开并化简。首先，写出 $\sin x$ 在 $x=0$ 处的三阶泰勒展开式：$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).$$ 其次，写出 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的三阶泰勒展开式：$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3).$$ 注意，这里需要展开到三阶，因为后续相减后最低阶项为 $x^2$ 项。将两个展开式代入分子：$$\sin x - \ln(1+x) = \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) - \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right).$$ 去掉括号并合并同类项：首先 $x - x = 0$ 消去一次项；然后 $x^2$ 项只有 $+\frac{x^2}{2}$；接着 $x^3$ 项为 $-\frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{3} = -\frac{x^3}{6} - \frac{2x^3}{6} = -\frac{3x^3}{6} = -\frac{x^3}{2}$；最后高阶无穷小合并为 $o(x^3)$。因此得到化简结果：$$\sin x - \ln(1+x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{2} + o(x^3).$$ 此结果将用于下一步与分母的泰勒展开式相除，以计算极限。注意，这里 $o(x^3)$ 表示比 $x^3$ 更高阶的无穷小，在后续运算中需保留至相应阶数。

本步骤的目标是计算极限。根据前几步的泰勒展开结果，分子已化为 $\frac{x^2}{2} + o(x^2)$，分母为 $x^2$。因此，原极限为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2} + \frac{o(x^2)}{x^2} \right). $$ 根据高阶无穷小的定义，$\frac{o(x^2)}{x^2} \to 0$ 当 $x \to 0$。因此，极限值为 $\frac{1}{2}$。 最终答案为 $\boxed{\dfrac{1}{2}}$。验证：将 $x=0.1$ 代入原函数近似计算，结果接近 $0.5$，确认无误。