2026年考研数学一第15题

设矩阵$A$为三阶矩阵，其特征多项式为$|\lambda E - A|$。首先写出特征多项式： $$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & -a_{23} \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda - a_{33} \end{vmatrix}$$ 根据题目所给矩阵$A$的具体形式（此处假设$A$为已知矩阵，例如$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 2 & a \end{pmatrix}$），代入计算得： $$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-a & -2 \\ 0 & -2 & \lambda-a \end{vmatrix}$$ 按第一行展开，得： $$|\lambda E - A| = (\lambda-1) \begin{vmatrix} \lambda-a & -2 \\ -2 & \lambda-a \end{vmatrix} = (\lambda-1)[(\lambda-a)^2 - 4]$$ 进一步分解因式： $$(\lambda-a)^2 - 4 = (\lambda-a-2)(\lambda-a+2)$$ 因此特征多项式为： $$|\lambda E - A| = (\lambda-1)(\lambda-a-2)(\lambda-a+2)$$ 令特征多项式等于零，得到特征值： $$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = a-2, \quad \lambda_3 = a+2$$ 至此，矩阵$A$的三个特征值全部求出。

已知矩阵 $B = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}$。为求其特征值，需计算特征多项式 $|\lambda E - B|$。 首先写出 $\lambda E - B$： $$\lambda E - B = \begin{pmatrix} \lambda - a & 0 & -1 \\ 0 & \lambda - 2 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda - a \end{pmatrix}.$$ 计算该矩阵的行列式。按第二行展开（第二行有两个零元素，计算简便）： $$|\lambda E - B| = (\lambda - 2) \cdot \begin{vmatrix} \lambda - a & -1 \\ -1 & \lambda - a \end{vmatrix}.$$ 计算二阶行列式： $$\begin{vmatrix} \lambda - a & -1 \\ -1 & \lambda - a \end{vmatrix} = (\lambda - a)^2 - (-1)(-1) = (\lambda - a)^2 - 1.$$ 因此特征多项式为： $$|\lambda E - B| = (\lambda - 2)[(\lambda - a)^2 - 1].$$ 进一步分解因式： $$(\lambda - a)^2 - 1 = (\lambda - a - 1)(\lambda - a + 1).$$ 所以特征多项式为： $$|\lambda E - B| = (\lambda - 2)(\lambda - a - 1)(\lambda - a + 1).$$ 令其等于零，得到特征值： $$\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = a - 1, \quad \lambda_3 = a + 1.$$ 注意：特征值 $2$ 是固定的，而 $a-1$ 和 $a+1$ 依赖于参数 $a$。

根据参数$a$的不同取值范围，分别讨论集合$A$和$B$中元素的最大值$m(A)$和$m(B)$的表达式。 首先回顾集合定义：$A = \{x \mid x^2 - 2ax + 1 \leq 0\}$，$B = \{x \mid x^2 - 2x + a \leq 0\}$。 **情形1：$a < -1$** - 对于集合$A$：判别式$\Delta_A = 4a^2 - 4 = 4(a^2-1) > 0$，方程$x^2-2ax+1=0$的两根为$x = a \pm \sqrt{a^2-1}$。由于$a<-1$，两根均为负，且较大根为$a+\sqrt{a^2-1}$（注意$a+\sqrt{a^2-1} < 0$）。因此$m(A) = a+\sqrt{a^2-1}$。 - 对于集合$B$：判别式$\Delta_B = 4 - 4a = 4(1-a) > 0$，方程$x^2-2x+a=0$的两根为$x = 1 \pm \sqrt{1-a}$。由于$a<-1$，$\sqrt{1-a} > \sqrt{2} > 1$，故$1-\sqrt{1-a} < 0$，$1+\sqrt{1-a} > 0$，因此$m(B) = 1+\sqrt{1-a}$。 **情形2：$-1 \leq a < 0$** - 对于集合$A$：判别式$\Delta_A = 4(a^2-1) \leq 0$。当$a=-1$时，$\Delta_A=0$，不等式解为$x= -1$，$m(A)=-1$；当$-1 0$，两根为$1 \pm \sqrt{1-a}$。由于$a<0$，$\sqrt{1-a} > 1$，故$1-\sqrt{1-a} < 0$，$1+\sqrt{1-a} > 0$，因此$m(B) = 1+\sqrt{1-a}$。 **情形3：$0 \leq a < 1$** - 对于集合$A$：判别式$\Delta_A = 4(a^2-1) < 0$（当$0 \leq a < 1$时），不等式无解，$A=\varnothing$，$m(A)$无定义。 - 对于集合$B$：判别式$\Delta_B = 4(1-a) > 0$，两根为$1 \pm \sqrt{1-a}$。此时$0 \leq a < 1$，$\sqrt{1-a} \in (0,1]$，故$1-\sqrt{1-a} \geq 0$，$1+\sqrt{1-a} > 0$，因此$m(B) = 1+\sqrt{1-a}$。 **情形4：$a \geq 1$** - 对于集合$A$：判别式$\Delta_A = 4(a^2-1) \geq 0$，两根为$a \pm \sqrt{a^2-1}$。当$a>1$时，两根均为正，较大根为$a+\sqrt{a^2-1}$；当$a=1$时，两根均为1，$m(A)=1$。因此$m(A) = a+\sqrt{a^2-1}$。 - 对于集合$B$：判别式$\Delta_B = 4(1-a) \leq 0$。当$a=1$时，$\Delta_B=0$，解为$x=1$，$m(B)=1$；当$a>1$时，$\Delta_B<0$，$B=\varnothing$，$m(B)$无定义。 综上，分段结果如下： - $a<-1$：$m(A)=a+\sqrt{a^2-1}$，$m(B)=1+\sqrt{1-a}$ - $-1 \leq a < 0$：$m(A)$无定义（$a=-1$时$m(A)=-1$），$m(B)=1+\sqrt{1-a}$ - $0 \leq a < 1$：$m(A)$无定义，$m(B)=1+\sqrt{1-a}$ - $a \geq 1$：$m(A)=a+\sqrt{a^2-1}$，$m(B)$无定义（$a=1$时$m(B)=1$）

在完成前几步对集合$A$和$B$的表示以及区间划分后，我们得到以下结果： - 当$a < 0$时，$A = (-\infty, a)$，$B = (-\infty, 0)$，此时$m(A) = -\infty$，$m(B) = -\infty$，但需注意$m(A)$与$m(B)$均为$(-\infty)$，无法直接比较大小，实际上我们关心的是集合的“最小上界”或“下确界”概念。根据题目定义，$m(A)$表示集合$A$的下确界（若$A$无下界则记为$-\infty$）。 - 当$a = 0$时，$A = (-\infty, 0)$，$B = (-\infty, 0)$，$m(A) = m(B) = -\infty$，不等式$m(A) < m(B)$不成立（相等）。 - 当$a > 0$时，$A = (-\infty, a)$，$B = (-\infty, 0)$，$m(A) = -\infty$，$m(B) = -\infty$，同样无法严格小于。 但根据题目隐含条件，$m(A)$和$m(B)$应理解为集合的“最小元素”（若存在）或下确界。实际上，对于无下界的区间，下确界为$-\infty$，此时比较$m(A) < m(B)$无意义。因此，我们需要重新审视：题目中$m(A)$可能定义为集合$A$的“最大值”或“上确界”？结合前几步，更合理的解释是：$m(A)$表示集合$A$的上确界（即最大上界）。 重新分析： - 若$a < 0$，则$A = (-\infty, a)$的上确界为$a$，$B = (-\infty, 0)$的上确界为$0$。此时$m(A)=a$，$m(B)=0$，不等式$m(A) < m(B)$即$a < 0$，成立。 - 若$a = 0$，$m(A)=0$，$m(B)=0$，不等式不成立。 - 若$a > 0$，$A = (-\infty, a)$的上确界为$a$，$B$的上确界为$0$，此时$a > 0$，$a < 0$不成立。 因此，满足$m(A) < m(B)$的$a$的取值范围为$a < 0$，即$(-\infty, 0)$。 最终验证：取$a = -1$，则$A = (-\infty, -1)$，$B = (-\infty, 0)$，$m(A) = -1$，$m(B) = 0$，$-1 < 0$成立。取$a = -0.5$，同样成立。取$a = 0$，$m(A)=m(B)=0$，不满足严格小于。取$a=1$，$m(A)=1$，$m(B)=0$，$1<0$不成立。故结果正确。