2026年考研数学一第22题
📝 题目
（本题满分 12 分）
假设某种元件的寿命服从指数分布，其均值 $\theta$ 是未知参数。为估计 $\theta$，取 $n$ 个这种元件同时做寿命试验，试验到出现 $k(1 \leq k \leq n)$ 个元件失效时停止。
（1）若 $k=1$，失效元件的寿命记为 $T$，（i）求 $T$ 的概率密度；（ii）确定 $a$，使得 $\hat{\theta}=aT$是 $\theta$ 的无偏估计，并求 $D(\hat{\theta})$；
（2）已知 $k$ 个失效元件的寿命值分别为 $t_1, t_2, \cdots, t_k$，且 $t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k$，似然函数为 $L(\theta)=\displaystyle\frac{1}{\theta^k} e^{-\displaystyle\frac{1}{\theta}\left[\displaystyle\sum_{i=1}^k t_i+(n-k) t_k\right]}$，求 $\theta$ 的最大似然估计值。
💡 答案解析
答案: 见解析
解析:
【解】（1）（i）设元件的寿命分别为 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ ，则每个样本均服从参数 $\lambda=\displaystyle\frac{1}{\theta}$ 的指数分布，即
$$
F(x)=\left{\begin{array}{ll}
1-\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}, & x \geq 0, \
0, & x<0,
\end{array} f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0 \
0, & x<0\end{cases}\right.
$$
当 $k=1$ 时，$T=\min \left{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right}$ ，设 $T$ 的分布函数为 $F_{T}(t)$ ，则
$$
F_{T}(t)=P{T \leq t}=1-P\left{\min \left{X_{1}, \cdots, X_{n}\right}>t\right}=1-\prod_{i=1}^{n} P\left{X_{i}>t\right}= \begin{cases}0, & t<0 \ 1-\mathrm{e}^{-\frac{n}{\theta} t}, & t \geq 0\end{cases}
$$
$T$ 的概率密度为
$$
f_{T}(t)= \begin{cases}\frac{n}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{n}{\theta} t}, & t>0, \ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（ii）由（i）可知，$T \sim E\left(\displaystyle\frac{n}{\theta}\right)$
所以 $E(T)=\displaystyle\frac{\theta}{n}, D(T)=\displaystyle\frac{\theta^{2}}{n^{2}}$ ，故 $E(\hat{\theta})=a \cdot \displaystyle\frac{\theta}{n}$ ．
当 $a=n$ 时，$\hat{\theta}=a T$ 为 $\theta$ 的无偏估计量．
$$
D(\hat{\theta})=D(n T)=n^{2} D T=n^{2} \cdot \frac{\theta^{2}}{n^{2}}=\theta^{2}
$$
（2）似然函数为
$$
\begin{gathered}
L(\theta)=\frac{1}{\theta^{k}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{\theta}\left[\sum_{i=1}^{k} t_{i}+(n-k) t_{k}\right]}, \
\ln L(\theta)=-k \ln \theta-\frac{1}{\theta}\left[\sum_{i=1}^{k} t_{i}+(n-k) t_{k}\right],
\end{gathered}
$$
令 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} \ln L(\theta)}{\mathrm{d} \theta}=-\displaystyle\frac{k}{\theta}+\displaystyle\frac{1}{\theta^{2}}\left[\displaystyle\sum_{i=1}^{k} t_{i}+(n-k) t_{k}\right]=0$ ，解得
$$
\theta=\frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} t_{i}+\frac{n-k}{k} t_{k}
$$
即 $\theta$ 的最大似然估计值为
$$
\hat{\theta}=\frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} t_{i}+\frac{n-k}{k} t_{k}
$$