2026年考研数学一第2题
📝 题目
幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\displaystyle\frac{3+(-1)^n}{4}\right)^n x^{2n}$ 的收敛域是
💡 答案解析
答案: 见解析
解析:
$$
F(x)=\left{\begin{array}{ll}
1-\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}, & x \geq 0, \
0, & x<0,
\end{array} f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0 \
0, & x<0\end{cases}\right.
$$
当 $k=1$ 时，$T=\min \left{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right}$ ，设 $T$ 的分布函数为 $F_{T}(t)$ ，则
$$
F_{T}(t)=P{T \leq t}=1-P\left{\min \left{X_{1}, \cdots, X_{n}\right}>t\right}=1-\prod_{i=1}^{n} P\left{X_{i}>t\right}= \begin{cases}0, & t<0 \ 1-\mathrm{e}^{-\frac{n}{\theta} t}, & t \geq 0\end{cases}
$$
$T$ 的概率密度为
$$
f_{T}(t)= \begin{cases}\frac{n}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{n}{\theta} t}, & t>0, \ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（ii）由（i）可知，$T \sim E\left(\displaystyle\frac{n}{\theta}\right)$