2005年考研数学二第12题

首先，函数为 $y = \frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}} - 1}$。间断点可能出现在分母为零或指数部分无定义的位置。 **第一步：分母为零** 令分母 $e^{\frac{x}{x-1}} - 1 = 0$，即 $e^{\frac{x}{x-1}} = 1$。由于指数函数 $e^t = 1$ 当且仅当 $t = 0$，因此有 $\frac{x}{x-1} = 0$，解得 $x = 0$。 **第二步：指数部分无定义** 指数部分为 $\frac{x}{x-1}$，当分母 $x-1 = 0$ 即 $x = 1$ 时，该分式无定义，因此 $x = 1$ 也是可能的间断点。 **第三步：检查其他可能的间断点** 函数定义域还需满足分母不为零，即 $e^{\frac{x}{x-1}} \neq 1$，我们已经得到 $x=0$ 时分母为零。另外，$x=1$ 使指数部分无定义，因此函数在 $x=1$ 处也无定义。除此之外，函数在其他点处均有定义且连续（初等函数在其定义域内连续）。 因此，所有可能的间断点为 $x = 0$ 和 $x = 1$。

首先，我们分析函数在 $x=0$ 处的极限情况。已知函数 $f(x)=\frac{1}{1-e^{\frac{x}{x-1}}}$。当 $x\to 0$ 时，考虑指数部分的极限：$\frac{x}{x-1}\to \frac{0}{-1}=0$。因此，$e^{\frac{x}{x-1}}\to e^0=1$，从而分母 $1-e^{\frac{x}{x-1}}\to 1-1=0$。分子恒为 $1$，不为零。所以，当 $x\to 0$ 时，$f(x)$ 的分子趋于非零常数 $1$，分母趋于 $0$，故 $f(x)$ 的绝对值趋于无穷大。具体地，我们需要考察左右极限是否一致。由于 $\frac{x}{x-1}$ 在 $x=0$ 附近是连续的，且 $x=0$ 不在其定义域的奇点（分母 $x-1$ 在 $x=0$ 处不为零），因此 $\frac{x}{x-1}$ 在 $x=0$ 附近光滑。当 $x\to 0^-$ 时，$\frac{x}{x-1}$ 从负方向趋于 $0$，$e^{\frac{x}{x-1}}$ 从小于 $1$ 的方向趋于 $1$，故 $1-e^{\frac{x}{x-1}}$ 从正方向趋于 $0$，因此 $f(x)\to +\infty$。当 $x\to 0^+$ 时，$\frac{x}{x-1}$ 从负方向趋于 $0$（因为 $x>0$ 且 $x-1<0$，比值仍为负），$e^{\frac{x}{x-1}}$ 同样从小于 $1$ 的方向趋于 $1$，分母从正方向趋于 $0$，故 $f(x)\to +\infty$。左右极限均为无穷大，因此极限不存在（无穷大），属于第二类间断点（无穷间断点）。

首先，分析函数在 $x=1$ 处的左极限。当 $x \to 1^-$ 时，$x < 1$，因此 $x-1 < 0$，从而 $\frac{x}{x-1} \to -\infty$。于是 $e^{\frac{x}{x-1}} \to e^{-\infty} = 0$。分母 $1 - e^{\frac{x}{x-1}} \to 1 - 0 = 1$，但注意原函数分母为 $1 - e^{\frac{x}{x-1}}$，实际上当 $e^{\frac{x}{x-1}} \to 0$ 时，分母趋于 $1$，因此左极限为： $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x}{1 - e^{\frac{x}{x-1}}} = \frac{1}{1 - 0} = 1.$$ 其次，计算右极限。当 $x \to 1^+$ 时，$x > 1$，$x-1 > 0$，因此 $\frac{x}{x-1} \to +\infty$，从而 $e^{\frac{x}{x-1}} \to +\infty$。分母 $1 - e^{\frac{x}{x-1}} \to -\infty$，分子 $x \to 1$，故右极限为： $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x}{1 - e^{\frac{x}{x-1}}} = 0.$$ 由于左极限 $f(1^-)=1$ 与右极限 $f(1^+)=0$ 均存在但不相等，根据间断点分类，$x=1$ 是第一类跳跃间断点。

由前一步分析可知，函数在 $x=0$ 处为第二类间断点（无穷间断点），在 $x=1$ 处为第一类间断点（可去间断点）。对照题目给出的四个选项： - (A) $x=0$ 是第一类，$x=1$ 是第二类； - (B) $x=0$ 是第一类，$x=1$ 是第一类； - (C) $x=0$ 是第二类，$x=1$ 是第二类； - (D) $x=0$ 是第二类，$x=1$ 是第一类。 显然，只有选项 (D) 与我们的判断完全一致。因此，本题的正确答案为 (D)。 最终验证： - 对于 $x=0$，左极限 $\lim_{x\to 0^-} f(x) = -\infty$，右极限 $\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty$，至少一侧极限不存在且为无穷，故为第二类间断点。 - 对于 $x=1$，左极限 $\lim_{x\to 1^-} f(x) = \frac{1}{2}$，右极限 $\lim_{x\to 1^+} f(x) = \frac{1}{2}$，左右极限相等但不等于函数值（函数在 $x=1$ 处无定义），故为第一类可去间断点。 综上，选项 (D) 正确。