💡 答案解析
**答案**: （C）．
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**解析**:
令 $\boldsymbol{E}_{12}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，由题意得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}_{12} \boldsymbol{A}$ ．
由 $|\boldsymbol{B}|=\left|\boldsymbol{E}_{12}\right| \cdot|\boldsymbol{A}|=-|\boldsymbol{A}|, \quad \boldsymbol{B}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{E}_{12}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{E}_{12}$ ，
得 $\boldsymbol{B}^{*}=|\boldsymbol{B}| \boldsymbol{B}^{-1}=-|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{E}_{12}=-\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{E}_{12}$ 或 $-\boldsymbol{B}^{*}=\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{E}_{12}$ ，
即交换 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的第1、2列得 $-\boldsymbol{B}^{*}$ ，应选（C）。
方法点评：本题考查初等变换与伴随矩阵。
设 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵，研究 $\boldsymbol{A}^{*}$ 时往往通过性质 $\boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^{-1}$ ．
如：设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 分别为 $m, n$ 阶可逆矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=a,|\boldsymbol{B}|=b$ ，则
$$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{ll}
\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}
\end{array}\right)^{*}=\left|\begin{array}{ll}
\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}
\end{array}\right| \cdot\left(\begin{array}{ll}
\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}
\end{array}\right)^{-1}=a b\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
b \boldsymbol{A}^{*} & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{O} & a \boldsymbol{B}^{*}
\end{array}\right) ; \\
& \left(\begin{array}{ll}
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right)^{*}=\left|\begin{array}{ll}
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right| \cdot\left(\begin{array}{ll}
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right)^{-1}=(-1)^{m n} a b\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\
\boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right)=(-1)^{m n}\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{O} & a \boldsymbol{B}^{*} \\
b \boldsymbol{A}^{*} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$
三、解答题
📋 详细解题步骤
目标：用初等矩阵表示行交换
首先，明确题目中的矩阵$A$和$B$。设$A$为原矩阵，$B$是通过交换$A$的第1行与第2行得到的矩阵。为了用初等矩阵表示这一行交换操作，我们引入初等矩阵$E_{12}$，它表示交换单位矩阵$I$的第1行与第2行。具体地，对于$n$阶单位矩阵$I_n$，交换其第1行和第2行得到的矩阵记为$E_{12}$，其形式为：
$$E_{12} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}.$$
根据矩阵乘法的性质，左乘一个初等矩阵相当于对原矩阵进行相应的行变换。因此，将$E_{12}$左乘矩阵$A$，即$E_{12}A$，得到的结果恰好是交换$A$的第1行与第2行后的矩阵。于是有等式：
$$B = E_{12} A.$$
这一步骤的关键在于理解初等矩阵与初等行变换的对应关系：左乘交换两行的初等矩阵，实现行交换。后续步骤中，我们可能需要对$B$继续施加其他初等变换，因此用初等矩阵的乘积表示整个变换过程是线性代数中常用的方法。
公式：$$B = E_{12} A$$
提示：牢记左乘初等矩阵对应行变换，右乘对应列变换。
目标：计算B的行列式
已知矩阵$B = E_{12}A$，其中$E_{12}$是交换第一行与第二行的初等矩阵，$A$为原矩阵。根据行列式的性质，两个矩阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积，即$|B| = |E_{12}| \cdot |A|$。
初等矩阵$E_{12}$是由单位矩阵交换第一行与第二行得到的，其行列式值为$-1$，因为交换两行改变行列式的符号。因此，$|E_{12}| = -1$。
代入上式得：
$$|B| = (-1) \cdot |A| = -|A|.$$
所以，矩阵$B$的行列式等于矩阵$A$的行列式的相反数。
公式：$$|B| = |E_{12}| \cdot |A| = -|A|$$
提示：牢记初等矩阵的行列式：交换两行为-1，倍乘为k，倍加为1。
目标：计算B的逆矩阵
已知 $B = E_{12} A$，其中 $E_{12}$ 是交换单位矩阵第1行与第2行得到的初等矩阵。由逆矩阵的性质，$(E_{12}A)^{-1} = A^{-1} E_{12}^{-1}$。由于 $E_{12}$ 是初等对换矩阵，它是对合矩阵，即 $E_{12}^2 = I$，因此 $E_{12}^{-1} = E_{12}$。于是得到 $B^{-1} = A^{-1} E_{12}$。
具体计算时，设 $A^{-1}$ 已知（由前一步求得），则 $B^{-1}$ 等于 $A^{-1}$ 右乘 $E_{12}$。右乘 $E_{12}$ 的效果是将 $A^{-1}$ 的列进行交换：因为 $E_{12}$ 右乘一个矩阵相当于交换该矩阵的第1列与第2列。因此，若记 $A^{-1} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$，则
$$B^{-1} = A^{-1} E_{12} = \begin{pmatrix} a_{12} & a_{11} & a_{13} \\ a_{22} & a_{21} & a_{23} \\ a_{32} & a_{31} & a_{33} \end{pmatrix}.$$
此步骤的关键在于理解初等矩阵的逆矩阵性质以及右乘初等矩阵对列的影响。
公式：B^{-1} = A^{-1} E_{12}
提示：注意右乘 $E_{12}$ 是交换列，左乘才是交换行，不要混淆。
目标：利用伴随矩阵公式建立关系
本步骤的目标是利用伴随矩阵的基本公式 $B^* = |B| B^{-1}$ 来建立矩阵 $B$ 的伴随矩阵 $B^*$ 与已知量之间的关系。
首先，由前一步骤已知 $B = -A$，且 $A$ 为可逆矩阵（因为 $|A| \neq 0$），故 $B$ 也可逆。根据伴随矩阵的定义，对于任意可逆矩阵 $X$，有 $X^* = |X| X^{-1}$。
将 $X = B$ 代入，得：
$$B^* = |B| B^{-1}.$$
接下来计算 $|B|$。由于 $B = -A$，而 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，根据行列式的性质，有 $|B| = |-A| = (-1)^n |A|$。题目中未明确 $n$ 的值，但根据后续推导，此处 $n$ 应为奇数（常见于此类题型），故 $(-1)^n = -1$，因此 $|B| = -|A|$。
再计算 $B^{-1}$。由 $B = -A$，可得 $B^{-1} = (-A)^{-1} = -A^{-1}$（因为 $(-A)^{-1} = -A^{-1}$ 对任意可逆矩阵 $A$ 成立）。
将 $|B| = -|A|$ 和 $B^{-1} = -A^{-1}$ 代入 $B^* = |B| B^{-1}$，得：
$$B^* = (-|A|) \cdot (-A^{-1}) = |A| A^{-1}.$$
但步骤概要中给出的结果是 $B^* = -A^* E_{12}$，其中 $E_{12}$ 是交换第1行和第2行的初等矩阵。这里需要结合题目具体条件：实际上，$B$ 是由 $A$ 经过行交换得到的，即 $B = E_{12} A$（或 $B = A E_{12}$，取决于交换行还是列）。若 $B = E_{12} A$，则 $B^{-1} = A^{-1} E_{12}^{-1} = A^{-1} E_{12}$（因为 $E_{12}^{-1} = E_{12}$）。于是 $B^* = |B| B^{-1} = (-|A|)(A^{-1} E_{12}) = -(|A| A^{-1}) E_{12} = -A^* E_{12}$。
因此，最终关系式为 $B^* = -A^* E_{12}$，这建立了 $B$ 的伴随矩阵与 $A$ 的伴随矩阵之间的联系。
公式：B^* = |B| B^{-1} = (-|A|)(A^{-1} E_{12}) = -(|A| A^{-1}) E_{12} = -A^* E_{12}
提示：注意 $E_{12}$ 的逆等于自身，且 $(-A)^{-1} = -A^{-1}$ 对任意可逆矩阵成立。
目标：解释矩阵乘法对应的初等变换并选择答案
已知 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$E_{ij}$ 表示交换 $i$ 行与 $j$ 行的初等矩阵。题目中给出关系 $B = E_{12}A$，即 $B$ 是由 $A$ 交换第1行与第2行得到的矩阵。我们需要找出 $AB^*$ 与 $A^*$ 之间的关系。
首先，由伴随矩阵的性质，对于可逆矩阵 $A$，有 $A^* = |A|A^{-1}$。同理，$B^* = |B|B^{-1}$。由于 $B = E_{12}A$，且 $|E_{12}| = -1$，故 $|B| = |E_{12}A| = |E_{12}||A| = -|A|$。又因为 $E_{12}$ 是初等矩阵，其逆矩阵就是自身，即 $E_{12}^{-1} = E_{12}$，所以 $B^{-1} = (E_{12}A)^{-1} = A^{-1}E_{12}^{-1} = A^{-1}E_{12}$。于是
$$B^* = |B|B^{-1} = (-|A|)(A^{-1}E_{12}) = -|A|A^{-1}E_{12} = -A^*E_{12}.$$
因此 $B^* = -A^*E_{12}$。
现在分析 $A^*E_{12}$ 的含义。右乘初等矩阵 $E_{12}$ 相当于对矩阵进行相应的初等列变换。具体地，右乘 $E_{12}$ 表示交换矩阵的第1列与第2列。所以 $A^*E_{12}$ 就是将 $A^*$ 的第1列与第2列交换后得到的矩阵。而 $B^* = -A^*E_{12}$，即 $B^*$ 等于交换 $A^*$ 的第1、2列后再乘以 $-1$。
题目要求找出 $AB^*$ 与 $A^*$ 的关系。由 $B^* = -A^*E_{12}$ 可得
$$AB^* = A(-A^*E_{12}) = -AA^*E_{12}.$$
由于 $AA^* = |A|I$，所以 $AA^*E_{12} = |A|IE_{12} = |A|E_{12}$。因此
$$AB^* = -|A|E_{12}.$$
而 $A^* = |A|A^{-1}$，故 $AB^*$ 与 $A^*$ 并不直接相等，但题目选项通常给出的是关于 $A^*$ 与 $B^*$ 的关系。回顾选项，常见的有：
(A) $B^* = A^*E_{12}$
(B) $B^* = E_{12}A^*$
(C) $B^* = -A^*E_{12}$
(D) $B^* = -E_{12}A^*$
我们已推导出 $B^* = -A^*E_{12}$，故正确答案为选项 (C)。
验证：取一个具体的2阶可逆矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则 $A^* = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$。$B = E_{12}A = \begin{pmatrix} c & d \\ a & b \end{pmatrix}$，计算 $B^* = \begin{pmatrix} b & -d \\ -a & c \end{pmatrix}$。而 $-A^*E_{12} = -\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} -b & d \\ a & -c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & -d \\ -a & c \end{pmatrix}$，与 $B^*$ 一致，验证正确。
公式：B^* = -A^*E_{12}
提示：右乘初等矩阵对应列变换，左乘对应行变换，注意符号由行列式决定。