💡 答案解析
**答案**: 见解析
---
**解析**:
（I）令 $\varphi(x)=f(x)-1+x, \quad \varphi(0)=-1, \quad \varphi(1)=1$ 。
因为 $\varphi(0) \varphi(1)\lt 0$ ，所以由零点定理，存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $\varphi(\xi)=0$ ，即 $f(\xi)=1-\xi$ 。 （II）由微分中值定理，存在 $\eta \in(0, \xi), \zeta \in(\xi, 1)$ ，使得
$$
f^{\prime}(\eta)=\frac{f(\xi)-f(0)}{\xi}=\frac{1-\xi}{\xi}, \quad f^{\prime}(\zeta)=\frac{f(1)-f(\xi)}{1-\xi}=\frac{\xi}{1-\xi}
$$
故 $f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$ ．
## 方法点评：本题考查零点定理与拉格朗日中值定理．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，若题中只出现 $f^{\prime}(\xi), f^{\prime}(\eta)$ ，则一般需要找出三个点，两次使用拉格朗日中值定理．本题已知条件出现 $f(0)=0, f(1)=1$ 连同 $f(\xi)= 1-\xi$ ，故三个点为 $0, \xi, 1$ ．
📋 详细解题步骤
目标：构造辅助函数并应用零点定理
首先，根据题目条件，我们需要证明存在一点 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f(\xi) = 1 - \xi$。为此，构造辅助函数 $\varphi(x) = f(x) - 1 + x$。该函数在闭区间 $[0,1]$ 上连续，因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续（题目隐含条件），而 $-1+x$ 是多项式函数，也在 $[0,1]$ 上连续，故 $\varphi(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。
计算 $\varphi(x)$ 在区间端点处的函数值：
- 当 $x=0$ 时，$\varphi(0) = f(0) - 1 + 0 = f(0) - 1$。由题目条件 $f(0)=0$，得 $\varphi(0) = 0 - 1 = -1$。
- 当 $x=1$ 时，$\varphi(1) = f(1) - 1 + 1 = f(1)$。由题目条件 $f(1)=1$，得 $\varphi(1) = 1$。
于是 $\varphi(0) = -1 < 0$，$\varphi(1) = 1 > 0$。根据零点定理（若连续函数在区间端点处函数值异号，则函数在开区间内至少存在一个零点），存在一点 $\xi \in (0,1)$ 使得 $\varphi(\xi) = 0$。
由 $\varphi(\xi) = f(\xi) - 1 + \xi = 0$，即得 $f(\xi) = 1 - \xi$。至此，我们完成了第一步的证明目标。
公式：$$\varphi(x)=f(x)-1+x,\quad \varphi(0)=-1,\quad \varphi(1)=1,\quad \exists\xi\in(0,1):\varphi(\xi)=0\Rightarrow f(\xi)=1-\xi$$
提示：构造辅助函数时，将待证等式移项，令新函数等于零，再验证端点值异号。
目标：在子区间[0,ξ]上应用拉格朗日中值定理
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$。由第一步已证存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f(\xi)=1-\xi$。
现在考虑子区间 $[0,\xi]$。由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续、可导，故在子区间 $[0,\xi]$ 上也连续，在 $(0,\xi)$ 内可导，满足拉格朗日中值定理的条件。因此，存在一点 $\eta \in (0,\xi)$，使得
$$
f'(\eta) = \frac{f(\xi)-f(0)}{\xi-0}.
$$
代入已知条件 $f(0)=0$ 和 $f(\xi)=1-\xi$，得
$$
f'(\eta) = \frac{(1-\xi)-0}{\xi} = \frac{1-\xi}{\xi}.
$$
至此，我们得到了 $\eta \in (0,\xi)$ 以及 $f'(\eta)=\frac{1-\xi}{\xi}$。这个关系将在后续步骤中与另一个区间上的拉格朗日中值定理结论结合，以证明存在 $\eta \in (0,1)$ 使得 $f'(\eta)=1$。
公式：$$f'(\eta) = \frac{f(\xi)-f(0)}{\xi-0} = \frac{1-\xi}{\xi}$$
提示：注意拉格朗日中值定理的公式中分子是函数值的差，分母是自变量的差，顺序要一致。
目标：在子区间[ξ,1]上应用拉格朗日中值定理
由题设，函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$。在第二步中，我们已利用介值定理得到存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f(\xi)=1-\xi$。现在考虑子区间 $[\xi,1]$。由于 $f(x)$ 在 $[\xi,1]$ 上连续，在 $(\xi,1)$ 内可导，满足拉格朗日中值定理的条件。因此，存在一点 $\zeta \in (\xi,1)$，使得
$$f'(\zeta)=\frac{f(1)-f(\xi)}{1-\xi}.$$
代入已知条件 $f(1)=1$ 和 $f(\xi)=1-\xi$，得
$$f'(\zeta)=\frac{1-(1-\xi)}{1-\xi}=\frac{\xi}{1-\xi}.$$
于是我们得到了 $\zeta \in (\xi,1)$ 满足 $f'(\zeta)=\frac{\xi}{1-\xi}$。
公式：$$f'(\zeta)=\frac{f(1)-f(\xi)}{1-\xi}=\frac{\xi}{1-\xi}$$
提示：注意拉格朗日中值定理的公式中，分子是区间端点函数值的差，分母是区间长度。
目标：计算导数乘积并得出结论
由前一步骤，我们已经得到存在两点 $\eta, \zeta \in (0,1)$（$\eta \neq \zeta$），使得
$$
f'(\eta) = \frac{1-\xi}{\xi}, \quad f'(\zeta) = \frac{\xi}{1-\xi},
$$
其中 $\xi \in (0,1)$ 是某个中间点。
现在计算这两个导数的乘积：
$$
f'(\eta) f'(\zeta) = \frac{1-\xi}{\xi} \cdot \frac{\xi}{1-\xi} = 1.
$$
因此，我们找到了两个不同的点 $\eta, \zeta \in (0,1)$，使得 $f'(\eta) f'(\zeta) = 1$。
**验证**：由于 $\xi \in (0,1)$，$\frac{1-\xi}{\xi}$ 与 $\frac{\xi}{1-\xi}$ 互为倒数，乘积恒为1。且 $\eta$ 与 $\zeta$ 分别由拉格朗日中值定理取自不同的区间，故 $\eta \neq \zeta$。结论成立。
最终，我们完成了题目的证明：存在两个不同的点 $\eta, \zeta \in (0,1)$，使得 $f'(\eta) f'(\zeta) = 1$。
公式：$$f'(\eta) f'(\zeta) = \frac{1-\xi}{\xi} \cdot \frac{\xi}{1-\xi} = 1$$
提示：注意两个导数互为倒数，乘积直接为1，无需复杂计算。