📝 题目
已知3阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第一行是 $(a, b, c), a, b, c$ 不全为零，矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k\end{array}\right)$（ $k$ 为常数），且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，求线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解．
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 得 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant 3$ ，因为 $\boldsymbol{A}$ 为非零矩阵，所以 $r(\boldsymbol{A}) \geqslant 1$ ．
当 $k \neq 9$ 时，由 $r(\boldsymbol{B})=2$ 得 $r(\boldsymbol{A})=1$ 。
因为 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，所以 $\boldsymbol{B}$ 的列向量为方程组 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的解，于是方程组 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的通解为
$$
\boldsymbol{X}=C_{1}\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{l}
3 \\
6 \\
k
\end{array}\right)\left(C_{1}, C_{2} \text { 为任意常数 }\right) .
$$
当 $k=9$ 时，$r(\boldsymbol{B})=1$ ，则 $1 \leqslant r(\boldsymbol{A}) \leqslant 2$ ．
当 $r(\boldsymbol{A})=2$ 时，因为 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，所以 $\boldsymbol{B}$ 的列向量为 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的解，于是方程组 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\boldsymbol{X}=C\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$（ $C$ 为任意常数）．
当 $r(\boldsymbol{A})=1$ 时，不妨设 $a \neq 0$ ，由 $\boldsymbol{A} \rightarrow\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}1 & \displaystyle\frac{b}{a} & \displaystyle\frac{c}{a} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，得方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\boldsymbol{X}=C_{1}\left(\begin{array}{c}-\displaystyle\frac{b}{a} \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{c}-\displaystyle\frac{c}{a} \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 为任意常数 $)$ 。
方法点评：设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 分别为 $m \times n$ 与 $n \times s$ 两个矩阵，对 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 有两种解读：
$(1) r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant n ;$
（2）矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量为齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的一组解．
📋 详细解题步骤
目标：转化条件
已知矩阵 $A$ 和 $B$ 满足 $AB = O$，其中 $O$ 是零矩阵。设 $B = (b_1, b_2, b_3)$，即 $b_1, b_2, b_3$ 是 $B$ 的列向量。由矩阵乘法，$AB = A(b_1, b_2, b_3) = (Ab_1, Ab_2, Ab_3) = O$，因此 $Ab_1 = 0$, $Ab_2 = 0$, $Ab_3 = 0$。这说明 $b_1, b_2, b_3$ 都是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解向量。
根据题目给出的 $B$ 的具体形式：
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k \end{pmatrix}$$
记 $b_1 = (1,2,3)^T$, $b_2 = (2,4,6)^T$, $b_3 = (3,6,k)^T$。
观察 $b_1$ 和 $b_2$ 的关系：$b_2 = 2b_1$，即 $b_2$ 与 $b_1$ 线性相关。而 $b_3$ 与 $b_1$ 的关系取决于 $k$ 的值：若 $k = 9$，则 $b_3 = 3b_1$，此时三个向量共线；若 $k \neq 9$，则 $b_3$ 与 $b_1$ 线性无关。
因此，$Ax = 0$ 的解空间至少包含 $b_1$ 和 $b_3$（当 $k \neq 9$ 时）或仅包含 $b_1$（当 $k = 9$ 时）。由于 $A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，且 $AB = O$ 且 $B \neq O$，可知 $A$ 不可逆，即 $\det(A) = 0$。进一步，$Ax = 0$ 的解空间维数至少为 $1$，具体维数由 $A$ 的秩决定。
本步骤将原条件 $AB = O$ 转化为：$B$ 的列向量都是 $Ax = 0$ 的解，从而为后续求解 $A$ 的秩和参数 $a$ 提供基础。
公式：AB = O \Rightarrow A b_i = 0 \ (i=1,2,3)
提示：注意 $b_2=2b_1$，因此解空间至少由 $b_1$ 和 $b_3$ 张成。
目标：分析B的列向量关系
设矩阵 $B = (\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3)$，其中 $\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3$ 为 $B$ 的列向量。
首先观察 $\boldsymbol{b}_2$ 与 $\boldsymbol{b}_1$ 的关系：
$$\boldsymbol{b}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$
显然 $\boldsymbol{b}_2 = 2\boldsymbol{b}_1$，因此 $\boldsymbol{b}_1$ 与 $\boldsymbol{b}_2$ 线性相关，它们共线。
再比较 $\boldsymbol{b}_3$ 与 $\boldsymbol{b}_1$：
$$\boldsymbol{b}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ k \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$
前两个分量：$3 = 3 \times 1$，$6 = 3 \times 2$，即前两个分量成3倍关系。若第三个分量也满足 $k = 3 \times 3 = 9$，则 $\boldsymbol{b}_3 = 3\boldsymbol{b}_1$，此时三个列向量全部共线，$B$ 的秩为1。
若 $k \neq 9$，则 $\boldsymbol{b}_3$ 与 $\boldsymbol{b}_1$ 线性无关（因为第三个分量不成比例），此时 $\boldsymbol{b}_1$ 与 $\boldsymbol{b}_3$ 构成两个线性无关的列向量，而 $\boldsymbol{b}_2$ 可由 $\boldsymbol{b}_1$ 线性表示，故 $B$ 的秩为2。
综上，$B$ 的秩取决于参数 $k$：当 $k=9$ 时，$\mathrm{rank}(B)=1$；当 $k \neq 9$ 时，$\mathrm{rank}(B)=2$。
公式：\boldsymbol{b}_2 = 2\boldsymbol{b}_1, \quad \boldsymbol{b}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ k \end{pmatrix} = 3\boldsymbol{b}_1 \text{ 当且仅当 } k=9
提示：判断列向量线性关系时，必须逐分量比较比例是否一致。
目标：确定A的秩与解空间维数
已知方程组 $Ax = b$ 的增广矩阵 $ar{A}$ 经过初等行变换化为行阶梯形矩阵。设 $A$ 为 $3 imes 3$ 矩阵，且题目条件给出：当 $k \neq 9$ 时，方程组有两个线性无关的解；当 $k = 9$ 时，方程组至少有一个解。
首先，由 $A$ 的第一行非零，可知 $\operatorname{rank}(A) \geq 1$。
**情况一：$k \neq 9$**
此时方程组有两个线性无关的解。设 $\xi_1, \xi_2$ 为两个线性无关的解，则它们的差 $\xi_1 - \xi_2$ 是对应齐次方程组 $Ax = 0$ 的非零解，且 $\xi_1 - \xi_2$ 与 $\xi_1$ 线性无关（否则 $\xi_1, \xi_2$ 线性相关）。因此齐次方程组至少有两个线性无关的解，即解空间维数 $\dim N(A) \geq 2$。
由线性方程组理论，$\dim N(A) = n - \operatorname{rank}(A)$，其中 $n = 3$。所以 $3 - \operatorname{rank}(A) \geq 2$，即 $\operatorname{rank}(A) \leq 1$。
结合 $\operatorname{rank}(A) \geq 1$，得 $\operatorname{rank}(A) = 1$。进而解空间维数 $\dim N(A) = 3 - 1 = 2$，恰有两个线性无关的解。
**情况二：$k = 9$**
此时只能确定方程组至少有一个解，但无法确定解空间维数的确切值。由 $\operatorname{rank}(A) \geq 1$，且至少存在一个解，故解空间维数至少为 $1$（因为非齐次方程的解集是齐次解空间的平移，若至少有一个解，则齐次解空间维数至少为 $0$，但这里“至少有一个解”指非齐次方程有解，此时齐次解空间维数可能为 $0,1,2$，但结合 $A$ 第一行非零，$\operatorname{rank}(A) \geq 1$，故 $\dim N(A) = 3 - \operatorname{rank}(A) \leq 2$，所以只能得到 $\dim N(A) \geq 1$ 的结论）。
综上，当 $k \neq 9$ 时，$\operatorname{rank}(A) = 1$，解空间维数为 $2$；当 $k = 9$ 时，$\operatorname{rank}(A) \geq 1$，解空间维数至少为 $1$。
公式：$$\dim N(A) = n - \operatorname{rank}(A)$$
提示：利用解空间维数公式 $\dim N(A)=n-\operatorname{rank}(A)$ 结合已知解的数量反推秩。
目标：写出通解
根据前几步的分析，我们已经得到了系数矩阵$A$的秩以及齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系。下面分两种情况写出通解。
**情况一：$k=9$**
当$k=9$时，系数矩阵$A$的秩为$2$，未知数个数$n=3$，因此解空间的维数为$n - r = 3 - 2 = 1$。此时基础解系只包含一个向量。由前几步计算可知，基础解系为$(1,2,3)^T$。所以通解为：
$$x = t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}.$$
**情况二：$k \neq 9$**
当$k \neq 9$时，系数矩阵$A$的秩为$1$，解空间的维数为$3 - 1 = 2$。此时需要两个线性无关的解向量构成基础解系。由前几步分析，可取$b_1 = (1,2,3)^T$和$b_3 = (3,6,k)^T$作为一组基（注意$b_2$可由$b_1$线性表示，故不取）。因此通解为：
$$x = t_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ k \end{pmatrix}, \quad t_1, t_2 \in \mathbb{R}.$$
**验证**：对于$k=9$，代入$b_3 = (3,6,9)^T = 3(1,2,3)^T$，此时两个向量线性相关，解空间维数退化为1，与情况一一致。对于$k \neq 9$，$b_1$与$b_3$线性无关（因为对应分量不成比例），确实构成二维解空间的一组基。因此通解表达式正确。
公式：$$x = \begin{cases} t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, & k=9 \\ t_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ k \end{pmatrix}, & k \neq 9 \end{cases}$$
提示：注意参数k的取值会影响系数矩阵的秩，从而改变解空间的维数，务必分类讨论。