2005年考研数学二第6题

已知矩阵 $A$ 为 $3 \times 3$ 矩阵，矩阵 $B$ 也是 $3 \times 3$ 矩阵。题目中给出 $B$ 的每一列都可以表示为 $A$ 的列向量的线性组合。设 $A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]$，其中 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $A$ 的列向量。设 $B = [\beta_1, \beta_2, \beta_3]$，其中 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是 $B$ 的列向量。根据题意，存在系数矩阵 $C$ 使得 $B = A C$。具体地，对于 $B$ 的第 $j$ 列 $\beta_j$，存在系数 $c_{1j}, c_{2j}, c_{3j}$ 使得 $$ \beta_j = c_{1j} \alpha_1 + c_{2j} \alpha_2 + c_{3j} \alpha_3. $$ 将这些系数排列成矩阵 $C = (c_{ij})_{3 \times 3}$，则 $B = A C$。 题目中给出的具体关系为： - $\beta_1 = \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3$，对应系数 $c_{11}=1, c_{21}=-1, c_{31}=1$。 - $\beta_2 = \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3$，对应系数 $c_{12}=1, c_{22}=1, c_{32}=-1$。 - $\beta_3 = -\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$，对应系数 $c_{13}=-1, c_{23}=1, c_{33}=1$。 因此系数矩阵 $C$ 为 $$ C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}. $$ 于是得到矩阵乘法关系 $$ B = A C. $$ 注意：这里 $C$ 是右乘矩阵，因为 $B$ 的列是 $A$ 的列的线性组合。如果 $A$ 可逆，则 $C = A^{-1} B$。

由题目已知条件，矩阵$B$的列向量可以由$A$的列向量线性表示，具体表达式为： $$\begin{cases} \beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 \\ \beta_2 = \alpha_1 + 2\alpha_2 + 4\alpha_3 \\ \beta_3 = \alpha_1 + 3\alpha_2 + 9\alpha_3 \end{cases}$$ 其中$\beta_1,\beta_2,\beta_3$是$B$的列向量，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是$A$的列向量。 根据矩阵乘法的定义，若$B = AC$，则$B$的第$j$列等于$A$乘以$C$的第$j$列。因此，$C$的第$j$列就是$\beta_j$用$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示时的系数。 对于$\beta_1 = 1\cdot\alpha_1 + 1\cdot\alpha_2 + 1\cdot\alpha_3$，系数为$(1,1,1)^T$，即$C$的第一列。 对于$\beta_2 = 1\cdot\alpha_1 + 2\cdot\alpha_2 + 4\cdot\alpha_3$，系数为$(1,2,4)^T$，即$C$的第二列。 对于$\beta_3 = 1\cdot\alpha_1 + 3\cdot\alpha_2 + 9\cdot\alpha_3$，系数为$(1,3,9)^T$，即$C$的第三列。 因此，系数矩阵$C$为： $$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}$$ 注意：这里$C$是一个$3\times3$矩阵，其元素$c_{ij}$表示第$j$个$\beta$向量中$\alpha_i$的系数。

由前一步已知，矩阵 $B$ 可以表示为 $B = A C$，其中 $A$ 和 $C$ 均为 $n$ 阶方阵。根据行列式的乘法性质，对于任意两个同阶方阵 $X$ 和 $Y$，有 $|XY| = |X| \cdot |Y|$。因此，对等式 $B = A C$ 两边同时取行列式，得到： $$|B| = |A C| = |A| \cdot |C|.$$ 题目条件中已给出 $|A| = 1$，代入上式即得： $$|B| = 1 \cdot |C| = |C|.$$ 这一结论表明，矩阵 $B$ 的行列式与矩阵 $C$ 的行列式完全相等。由于 $C$ 是由 $A$ 和 $B$ 通过某种关系构造的矩阵（具体形式由题目上下文给出），因此计算 $|B|$ 的问题转化为计算 $|C|$ 的问题。后续步骤将利用 $C$ 的具体结构来求解 $|C|$，从而得到 $|B|$ 的值。 注意：行列式乘法性质成立的前提是矩阵可乘且均为方阵，此处 $A$ 和 $C$ 均为 $n$ 阶方阵，满足条件。

矩阵$C$是由向量$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的坐标按行排列得到的矩阵，即 $$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}.$$ 观察矩阵$C$的结构，它实际上是一个范德蒙矩阵的转置。范德蒙矩阵的一般形式为 $$V = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix},$$ 其行列式为$\prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$。 对于矩阵$C$，将其转置得到 $$C^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix},$$ 这是一个以$x_1=1, x_2=2, x_3=3$为节点的范德蒙矩阵。由于行列式与转置的行列式相等，即$\det(C) = \det(C^T)$，因此我们只需计算$C^T$的行列式。 根据范德蒙行列式的公式，有 $$\det(C^T) = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) = (2-1)(3-1)(3-2) = 1 \times 2 \times 1 = 2.$$ 因此，矩阵$C$的行列式为$\det(C) = 2$。