2007年考研数学二第11题

填空题 · 4分

📝 题目

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**: $-\displaystyle\frac{1}{6}$ ．

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**解析**:

方法一 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{\arctan x-x}{x^{3}}+\displaystyle\frac{x-\sin x}{x^{3}}\right)$ $=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\arctan x-x}{x^{3}}+\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x-\sin x}{x^{3}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}-1}{3 x^{2}}+\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1-\cos x}{3 x^{2}}=-\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{6}=-\displaystyle\frac{1}{6}$ ．方法二 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}=\displaystyle\frac{1}{3} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}-\cos x}{x^{2}}=\displaystyle\frac{1}{3} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1-\left(1+x^{2}\right) \cos x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{3} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x-x^{2} \cos x}{x^{2}}=\frac{1}{3} \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos x}{x^{2}}-\cos x\right) \\ & =\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{2}-1\right)=-\frac{1}{6} \end{aligned} $$

方法三由 $\arctan x=x-\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{3}\right), \sin x=x-\displaystyle\frac{x^{3}}{3!}+o\left(x^{3}\right)$ 得

$$ \arctan x-\sin x=-\frac{1}{6} x^{3}+o\left(x^{3}\right) \sim-\frac{1}{6} x^{3}, $$

于是 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}=-\displaystyle\frac{1}{6}$ ．方法点评：当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $x, \sin x, \tan x, \arcsin x, \arctan x$ 中，任意两个函数之差为三阶无穷小，计算时注意使用该结论．

【例】求 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x-\arcsin x}{x \ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．【解】 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x-\arcsin x}{x \ln \left(1+x^{2}\right)}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x-\arcsin x}{x^{3}} \xlongequal{x=\sin t} \displaystyle\lim _{t \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sin t-t}{\sin ^{3} t}$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4

目标：识别极限类型

首先，分析极限表达式： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - \sin x}{x^3} $$ 当 $x \to 0$ 时，分子中的两项分别趋于： - $\arctan x \to 0$ - $\sin x \to 0$ 因此分子 $\arctan x - \sin x \to 0$。分母 $x^3 \to 0$。所以该极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式，符合洛必达法则或泰勒展开的应用条件。为了确认分子趋于0的速度，可以进一步观察： - 当 $x$ 很小时，$\arctan x \sim x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ - $\sin x \sim x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ 因此 $\arctan x - \sin x \sim \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)x^3 = -\frac{1}{6}x^3$，确实与分母 $x^3$ 同阶，属于 $0/0$ 型。综上，该极限类型为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。

公式：\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - \sin x}{x^3} \text{ 为 } \frac{0}{0} \text{ 型未定式}

提示：判断极限类型时，先分别代入x=0看分子分母是否都趋于0。

步骤 2/4

目标：选择方法并展开

由于所求极限为 $\frac{0}{0}$ 型，且分子分母均为多项式与三角函数的组合，我们选择使用泰勒展开（麦克劳林展开）来简化计算。将分子中的 $\arctan x$ 和分母中的 $\sin x$ 分别展开至足够高阶的项，以便消去最低阶项并得到非零极限。首先，$\arctan x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开为： $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$ 其中 $o(x^3)$ 表示比 $x^3$ 高阶的无穷小。其次，$\sin x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开为： $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ 将这两个展开式代入原极限表达式中。分子为 $\arctan x - x$，代入展开式得： $$\arctan x - x = \left(x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right) - x = -\frac{x^3}{3} + o(x^3)$$ 分母为 $\ln(1+x^3) \cdot \sin x$，其中 $\sin x$ 用展开式替换，但注意分母中还有 $\ln(1+x^3)$ 项，将在后续步骤中处理。本步骤仅完成分子和分母中三角函数的泰勒展开，为下一步代入极限做准备。因此，经过展开，原极限可写为： $$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{\ln(1+x^3) \cdot \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)}$$ 注意：展开时需保证分子分母展开到同阶，这里分子最低阶为 $x^3$，分母中 $\sin x$ 的最低阶为 $x$，但分母还有 $\ln(1+x^3)$ 因子，其展开也会贡献 $x^3$ 阶，因此整体分母的最低阶可能为 $x^4$ 或更高，需在下一步中进一步处理。

公式：\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)

提示：展开时分子分母要展开到相同的最低阶数，通常取到分子分母中最低阶项的非零系数出现为止。

步骤 3/4

目标：计算分子差

本步骤的目标是计算分子 $\arctan x - \sin x$ 的差，并利用泰勒展开将其化简为 $x$ 的幂次形式。首先，回忆 $\arctan x$ 和 $\sin x$ 在 $x=0$ 附近的泰勒展开式： $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$$ $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$$ 由于题目中分母为 $x^3$，我们只需展开到 $x^3$ 项即可，更高阶项可合并为 $o(x^3)$。因此，取前两项： $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$ $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ 将两式相减： $$\arctan x - \sin x = \left(x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right) - \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)$$ 合并同类项： - $x$ 项：$x - x = 0$ - $x^3$ 项：$-\frac{x^3}{3} - \left(-\frac{x^3}{6}\right) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} = -\frac{x^3}{6}$ - 高阶项：$o(x^3) - o(x^3) = o(x^3)$ 因此，得到分子差： $$\arctan x - \sin x = -\frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ 这个结果说明，当 $x \to 0$ 时，分子 $\arctan x - \sin x$ 与 $-\frac{x^3}{6}$ 是等价无穷小，即 $\arctan x - \sin x \sim -\frac{x^3}{6}$。这一化简为下一步计算极限奠定了基础。

公式：\arctan x - \sin x = -\frac{x^3}{6} + o(x^3)

提示：泰勒展开时只需保留到分母的最高次幂，更高阶项统一用 $o(x^3)$ 表示。

步骤 4/4

目标：求极限

将前几步得到的分子展开式代入原极限表达式。已知分子为 $-\frac{x^3}{6} + o(x^3)$，分母为 $x^3$。因此极限为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{6} + \frac{o(x^3)}{x^3} \right). $$ 根据高阶无穷小的定义，$\frac{o(x^3)}{x^3} \to 0$ 当 $x \to 0$。所以极限值为 $-\frac{1}{6}$。最终答案为 $\boxed{-\frac{1}{6}}$。验证：将 $x=0.1$ 代入原函数近似计算，结果接近 $-0.1667$，与 $-1/6$ 一致。

公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -\frac{1}{6}$$

提示：代入展开式后，利用高阶无穷小与分母的比值极限为0，直接得到常数项。

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