2007年考研数学二第14题

首先，根据给定的非齐次线性微分方程 $y'' - 4y' + 3y = 2e^{2x}$，写出对应的齐次方程。齐次方程是将原方程右端的非齐次项置零得到，即 $y'' - 4y' + 3y = 0$。 对于常系数齐次线性微分方程，我们设解的形式为 $y = e^{\lambda x}$，代入齐次方程得到特征方程。将 $y = e^{\lambda x}$ 代入 $y'' - 4y' + 3y = 0$，由于 $y' = \lambda e^{\lambda x}$，$y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$，代入后得： $$\lambda^2 e^{\lambda x} - 4\lambda e^{\lambda x} + 3e^{\lambda x} = 0$$ 提取公因子 $e^{\lambda x}$（$e^{\lambda x} \neq 0$），得到特征方程： $$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$$ 这是一个一元二次方程，利用因式分解法求解： $$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$$ 因此，特征根为 $\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 3$。 这两个不相等的实根决定了齐次方程的通解形式为 $y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x}$，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。本步骤完成了齐次方程的建立和特征根的求解，为后续求特解和通解奠定了基础。

根据第一步求得的特征方程 $r^2 - 4r + 3 = 0$，解得两个不相等的实特征根 $r_1 = 1$，$r_2 = 3$。对于二阶常系数线性齐次微分方程，当特征根为两个不同实根时，其通解形式为 $y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$，其中 $C_1$、$C_2$ 为任意常数。将 $r_1 = 1$ 和 $r_2 = 3$ 代入，即得齐次方程的通解为： $$ y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x} $$ 此通解满足齐次方程 $y'' - 4y' + 3y = 0$，可通过代入验证：$y_h' = C_1 e^x + 3C_2 e^{3x}$，$y_h'' = C_1 e^x + 9C_2 e^{3x}$，代入得 $(C_1 e^x + 9C_2 e^{3x}) - 4(C_1 e^x + 3C_2 e^{3x}) + 3(C_1 e^x + C_2 e^{3x}) = 0$，恒成立。该通解为下一步求解非齐次方程的特解提供了基础。

本步骤的目标是根据非齐次项 $2e^{2x}$ 的形式，设定非齐次线性微分方程的一个特解形式。首先，我们需要判断指数 $2$ 是否为对应齐次方程的特征根。齐次方程的特征方程为 $r^2 - 3r + 2 = 0$，解得 $r_1 = 1$，$r_2 = 2$。因此，特征根为 $1$ 和 $2$。非齐次项 $2e^{2x}$ 中指数为 $2$，恰好等于特征根 $r_2 = 2$，即 $2$ 是单特征根。根据非齐次线性微分方程特解设定的规则：当非齐次项为 $P_m(x)e^{\lambda x}$ 形式时，若 $\lambda$ 不是特征根，则特解设为 $Q_m(x)e^{\lambda x}$；若 $\lambda$ 是 $k$ 重特征根，则特解设为 $x^k Q_m(x)e^{\lambda x}$。这里 $\lambda = 2$ 是单特征根（$k=1$），且非齐次项中 $P_m(x) = 2$ 是零次多项式，故特解应设为 $y_p = a x e^{2x}$，其中 $a$ 为待定常数。注意：题目步骤概要中称“指数2不是特征根”，这与实际计算不符，正确判断应为 $2$ 是单特征根，因此特解形式应为 $y_p = a x e^{2x}$，而非 $y_p = a e^{2x}$。后续步骤将代入原方程确定系数 $a$。

我们已经设特解形式为 $y_p = a e^{2x}$，其中 $a$ 为待定系数。现在将 $y_p$ 代入原微分方程 $y'' - 4y' + 3y = 2e^{2x}$ 中，以确定 $a$ 的值。 首先计算 $y_p$ 的一阶导数和二阶导数： $$y_p' = 2a e^{2x}, \quad y_p'' = 4a e^{2x}.$$ 将 $y_p$、$y_p'$ 和 $y_p''$ 代入原方程左边： $$y_p'' - 4y_p' + 3y_p = 4a e^{2x} - 4 \cdot (2a e^{2x}) + 3 \cdot (a e^{2x}) = 4a e^{2x} - 8a e^{2x} + 3a e^{2x}.$$ 合并同类项： $$(4a - 8a + 3a)e^{2x} = (-a) e^{2x}.$$ 因此原方程化为： $$-a e^{2x} = 2e^{2x}.$$ 由于 $e^{2x} \neq 0$，两边同时除以 $e^{2x}$ 得： $$-a = 2,$$ 解得 $a = -2$。 所以特解为： $$y_p = -2e^{2x}.$$

根据前几步的结果，我们已经求出了原二阶常系数非齐次线性微分方程对应的齐次方程的通解 $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{3x}$，以及非齐次方程的一个特解 $y_p = -2e^{2x}$。 原方程的通解由齐次通解和非齐次特解相加得到： $$ y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 e^{3x} - 2e^{2x} $$ 其中 $C_1$、$C_2$ 为任意常数。 **验证**：将通解代入原方程验证其正确性。 首先计算一阶导数： $$ y' = C_1 e^x + 3C_2 e^{3x} - 4e^{2x} $$ 二阶导数： $$ y'' = C_1 e^x + 9C_2 e^{3x} - 8e^{2x} $$ 代入原方程 $y'' - 4y' + 3y = 2e^{2x}$： 左边 $= (C_1 e^x + 9C_2 e^{3x} - 8e^{2x}) - 4(C_1 e^x + 3C_2 e^{3x} - 4e^{2x}) + 3(C_1 e^x + C_2 e^{3x} - 2e^{2x})$ $= C_1 e^x + 9C_2 e^{3x} - 8e^{2x} - 4C_1 e^x - 12C_2 e^{3x} + 16e^{2x} + 3C_1 e^x + 3C_2 e^{3x} - 6e^{2x}$ $= (C_1 - 4C_1 + 3C_1)e^x + (9C_2 - 12C_2 + 3C_2)e^{3x} + (-8 + 16 - 6)e^{2x}$ $= 0 \cdot e^x + 0 \cdot e^{3x} + 2e^{2x} = 2e^{2x}$ 右边也为 $2e^{2x}$，验证成立。 因此，原方程的通解为 $y = C_1 e^x + C_2 e^{3x} - 2e^{2x}$，其中 $C_1$、$C_2$ 为任意常数。