2007年考研数学二第16题

根据题目条件，矩阵$A$是一个$4 \times 4$矩阵，其元素满足：次对角线（即从右上角到左下角的对角线）上的元素全为$1$，其余位置的元素全为$0$。 对于$4 \times 4$矩阵，我们按行写出所有元素。设矩阵$A = (a_{ij})$，其中$i$表示行号（$i=1,2,3,4$），$j$表示列号（$j=1,2,3,4$）。次对角线上的元素满足$i+j = 5$（因为$4+1=5$，$3+2=5$，$2+3=5$，$1+4=5$），即$a_{i,5-i}=1$，其余$a_{ij}=0$。 具体写出： - 第1行：$j=1,2,3,4$，只有当$j=4$时$1+4=5$，所以$a_{14}=1$，其余为$0$，即第1行为$(0,0,0,1)$。 - 第2行：$j=1,2,3,4$，只有当$j=3$时$2+3=5$，所以$a_{23}=1$，其余为$0$，即第2行为$(0,0,1,0)$。 - 第3行：$j=1,2,3,4$，只有当$j=2$时$3+2=5$，所以$a_{32}=1$，其余为$0$，即第3行为$(0,1,0,0)$。 - 第4行：$j=1,2,3,4$，只有当$j=1$时$4+1=5$，所以$a_{41}=1$，其余为$0$，即第4行为$(1,0,0,0)$。 因此，矩阵$A$的具体形式为： $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 这个矩阵也称为反单位矩阵（或次对角线单位矩阵），它是$4$阶的置换矩阵，其作用是将向量元素顺序反转。