2007年考研数学二第23题
📝 题目
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \tag{1}\\
x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\
x_{1}+4 x_{2}+a^{2} x_{3}=0
\end{array}\right.
$$
与方程组
$$
\begin{equation*}
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=a-1 \tag{2}
\end{equation*}
$$
有公共解，求 $a$ 的值及所有公共解．
💡 答案解析
将两方程组联立成新方程组
$$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \tag{3}\\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\ x_{1}+4 x_{2}+a^{2} x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=a-1 \end{array}\right. $$
方程组（1），（2）有公共解的充分必要条件是方程组（3）有解。 $\overline{\boldsymbol{A}}=\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & a & 0 \\ 1 & 4 & a^{2} & 0 \\ 1 & 2 & 1 & a-1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a-1 & 0 \\ 0 & 3 & a^{2}-1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & a-1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & (a-1)(a-2) & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & a-1\end{array}\right)$,情形一：当 $a=1$ 时，$\overline{\boldsymbol{A}} \rightarrow\left(\begin{array}{lll:l}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right), r(\boldsymbol{A})=r(\overline{\boldsymbol{A}})=2<3$ ，两方程组的公共解为
$$ \boldsymbol{X}=C\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)(C \text { 为任意常数 }) ; $$
情形二：当 $a=2$ 时，$\overline{\boldsymbol{A}} \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right), r(\boldsymbol{A})=r(\overline{\boldsymbol{A}})=3$ ，两方程组唯一的公共解为
$$ \boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) $$
情形三：当 $a \neq 1$ 且 $a \neq 2$ 时，因为 $r(\boldsymbol{A})=3 \neq r(\overline{\boldsymbol{A}})=4$ ，所以两方程组没有公共解． 于是 $a=1$ 或 $a=2$ ，公共解分别为 $\boldsymbol{X}=C\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$（ $C$ 为任意常数）或 $\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ ． 方法点评：本题考查公共解与含参数方程组解的讨论． 线性方程组 $\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{b}_{1}$ 与 $\boldsymbol{B X}=\boldsymbol{b}_{2}$ 有公共解等价于方程组 $\binom{\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{X}=\binom{\boldsymbol{b}_{1}}{\boldsymbol{b}_{2}}$ 有解． （24）（ I ）【证明】由 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ，得
$$ \boldsymbol{B} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\boldsymbol{A}^{5}-4 \boldsymbol{A}^{3}+\boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{A}^{5} \boldsymbol{\alpha}_{1}-4 \boldsymbol{A}^{3} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1-4+1) \boldsymbol{\alpha}_{1}=-2 \boldsymbol{\alpha}_{1}, $$
则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 为矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的属于特征值 $\mu_{1}=-2$ 的特征向量。 $\boldsymbol{B}$ 的其他两个特征值为 $\mu_{2}=\lambda_{2}^{5}-4 \lambda_{2}^{3}+1=1, \mu_{3}=\lambda_{3}^{5}-4 \lambda_{3}^{3}+1=1$ ，即 $\mu_{2}=\mu_{3}=1$ 。 因为 $\boldsymbol{A}$ 为实对称矩阵，所以 $\boldsymbol{B}$ 为实对称矩阵，不妨设 $\boldsymbol{B}$ 的属于特征值 $\mu_{2}=\mu_{3}=1$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 。 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以 $\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=0$ ，即 $x_{1}-x_{2}+x_{3}=0$ ，于是 $\boldsymbol{B}$ 的属于特征值 $\mu_{2}=\mu_{3}=1$ 的线性无关的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ． 故 $\boldsymbol{B}$ 的属于特征值 $\mu_{1}=-2$ 的全部特征向量为 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$（ $k_{1}$ 为任意的非零常数）， $\boldsymbol{B}$ 的属于特征值 $\mu_{2}=\mu_{3}=1$ 的全部特征向量为 $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}$（ $k_{2}, k_{3}$ 为任意的不全为零的常数）． （II）【解】 方法一 令 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}-\displaystyle\frac{\left(\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{2}\right)}{\left(\boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}\right)} \boldsymbol{\beta}_{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ ，单位化得 $\boldsymbol{\gamma}_{1}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\gamma}_{2}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\gamma}_{3}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ ， 令 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \displaystyle\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ， 于是 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ． 方法二 令 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ， 由 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{B P}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \boldsymbol{P}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ．