2008年考研数学二第14题
📝 题目
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $2,3, \lambda$ ．若行列式 $|2 \boldsymbol{A}|=-48$ ，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
**答案**: -1 ．
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**解析**:
根据特征值的性质，得 $|\boldsymbol{A}|=\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3}=6 \lambda$ ． 又由 $|2 \boldsymbol{A}|=-48$ ，得 $8|\boldsymbol{A}|=-48$ ，即 $|\boldsymbol{A}|=-6$ ，于是 $\lambda=-1$ ．
## 三、解答题
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：用特征值表示A的行列式
已知三阶矩阵 $A$ 的三个特征值分别为 $2$、$3$ 和 $\lambda$。根据矩阵行列式与特征值的关系，对于任意 $n$ 阶方阵，其行列式等于所有特征值的乘积（计重数）。因此，矩阵 $A$ 的行列式 $|A|$ 可表示为：
$$|A| = 2 \times 3 \times \lambda = 6\lambda.$$
这一步直接利用了特征值乘积的性质，不需要额外的计算。注意，这里假设特征值已经包含了所有重根，且题目中给出的三个特征值互异或已明确给出，因此直接相乘即可。
公式：|A| = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i = 2 \times 3 \times \lambda = 6\lambda
提示：牢记：行列式=所有特征值乘积，迹=所有特征值之和。
步骤 2/4
目标：利用数乘行列式性质化简已知条件
已知条件为 $|2A| = -48$。根据数乘行列式的性质：若 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$k$ 是常数，则 $|kA| = k^n |A|$。本题中 $A$ 是 3 阶矩阵，故 $n=3$，因此 $|2A| = 2^3 |A| = 8|A|$。代入已知条件得 $8|A| = -48$。两边同时除以 8，得到 $|A| = -6$。这一步骤将原条件转化为关于 $|A|$ 的简单方程，为后续计算 $|A^*|$ 做好准备。
公式：$$|2A| = 2^3|A| = 8|A| = -48$$
提示：牢记数乘行列式公式 $|kA| = k^n|A|$，$n$ 为矩阵阶数。
步骤 3/4
目标：解出|A|的值
由前一步得到的方程 $8|A| = -48$，我们需要解出 $|A|$ 的值。这是一个一元一次方程，未知数为 $|A|$。方程两边同时除以系数 $8$，即可得到 $|A|$ 的值。具体计算如下：
$$
8|A| = -48
$$
两边同时除以 $8$：
$$
|A| = \frac{-48}{8}
$$
计算右边：
$$
|A| = -6
$$
因此，行列式 $|A|$ 的值为 $-6$。注意，行列式的值可以是负数，这并不影响后续计算。
公式：$$|A| = \frac{-48}{8} = -6$$
提示：注意符号：负数除以正数结果仍为负数，不要丢掉负号。
步骤 4/4
目标：建立方程求λ
由前一步已知矩阵$A$的行列式$|A| = 6\lambda$，并且根据题目条件（或前面步骤推导）得到$|A| = -6$。因此，建立关于$\lambda$的方程：
$$
6\lambda = -6
$$
两边同时除以$6$（$6 \neq 0$），解得：
$$
\lambda = -1
$$
**验证**：将$\lambda = -1$代入原条件，$|A| = 6 \times (-1) = -6$，与已知$|A| = -6$一致，故解正确。
因此，所求参数$\lambda$的值为$-1$。
公式：6\lambda = -6 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -1
提示：注意等式两边同时除以系数时符号不要出错。
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