2008年考研数学二第20题
📝 题目
（I）证明积分中值定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则至少存在一点 $\eta \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\boldsymbol{\eta})(b-a)$ ； （II）若函数 $\varphi(x)$ 具有二阶导数，且满足 $\varphi(2)\gt\varphi(1), \varphi(2)\gt\displaystyle\int_{2}^{3} \varphi(x) \mathrm{d} x$ ，则至少存在一点 $\xi \in(1,3)$ ，使得 $\varphi^{\prime \prime}(\xi)\lt 0$.
💡 答案解析
好的，下面我将这道考研数学题目分成两个部分，分别给出完整、严谨的证明过程，并用 LaTeX 书写公式。
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### （I）证明积分中值定理
**定理内容**： 若函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则至少存在一点 \(\eta \in [a,b]\)，使得 \[ \int_a^b f(x)\,dx = f(\eta)(b-a). \]
**证明**：
1. 因为 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，由闭区间上连续函数的最值定理，它在该区间上有最大值 \(M\) 和最小值 \(m\)，即 \[ m \le f(x) \le M,\quad \forall x \in [a,b]. \]
2. 对不等式在区间 \([a,b]\) 上积分，得 \[ \int_a^b m\,dx \le \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b M\,dx, \] 即 \[ m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a). \]
3. 因此 \[ m \le \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \le M. \]
4. 由连续函数的介值定理，介于最小值 \(m\) 和最大值 \(M\) 之间的任意值都可被某个 \(\eta \in [a,b]\) 取到，所以存在 \(\eta \in [a,b]\) 使 \[ f(\eta) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx. \]
5. 两边乘以 \(b-a\)，得到 \[ \int_a^b f(x)\,dx = f(\eta)(b-a). \]
证毕。
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### （II）证明存在 \(\xi \in (1,3)\) 使 \(\varphi''(\xi)<0\)
**已知条件**： \(\varphi(x)\) 具有二阶导数，且满足 \[ \varphi(2) > \varphi(1),\quad \varphi(2) > \int_2^3 \varphi(x)\,dx. \]
**要证**：存在 \(\xi\in(1,3)\) 使得 \(\varphi''(\xi) < 0\)。
**证明**：
1. 由条件 \(\varphi(2) > \varphi(1)\)，根据拉格朗日中值定理，存在 \(\alpha \in (1,2)\)，使得 \[ \varphi'(\alpha) = \frac{\varphi(2) - \varphi(1)}{2-1} > 0. \]
2. 下面分析条件 \(\varphi(2) > \int_2^3 \varphi(x)\,dx\)。 因为 \(\int_2^3 \varphi(x)\,dx\) 可以理解为 \(\varphi(x)\) 在 \([2,3]\) 上的平均值乘以区间长度 \(1\)，即 \[ \int_2^3 \varphi(x)\,dx = 1 \cdot \frac{1}{3-2}\int_2^3 \varphi(x)\,dx, \] 而平均值为某个 \(c\)，由积分中值定理，存在 \(\beta \in [2,3]\) 使得 \[ \int_2^3 \varphi(x)\,dx = \varphi(\beta)(3-2) = \varphi(\beta). \] 因此条件变为 \[ \varphi(2) > \varphi(\beta). \] 注意 \(\beta \in [2,3]\)，且 \(\beta\neq 2\)（若 \(\beta=2\)，则得 \(\varphi(2)>\varphi(2)\) 矛盾），所以实际上 \(\beta \in (2,3]\)。但若 \(\beta=3\)，下面的推理也成立，我们先考虑一般性：\(\beta\in(2,3]\)。
3. 对 \(\varphi\) 在区间 \([2,\beta]\)（若 \(\beta=3\) 就是 \([2,3]\)）上应用拉格朗日中值定理：存在 \(\gamma\in(2,\beta)\subset(2,3)\)，使得 \[ \varphi'(\gamma) = \frac{\varphi(\beta)-\varphi(2)}{\beta-2} < 0, \] 因为分子为负，分母为正。
4. 现在我们有： - \(\alpha \in (1,2)\)，\(\varphi'(\alpha) > 0\)； - \(\gamma \in (2,3)\)，\(\varphi'(\gamma) < 0\)。
对导函数 \(\varphi'(x)\) 在区间 \([\alpha,\gamma]\) 上应用拉格朗日中值定理，存在 \(\xi\in(\alpha,\gamma) \subset (1,3)\)，使得 \[ \varphi''(\xi) = \frac{\varphi'(\gamma) - \varphi'(\alpha)}{\gamma - \alpha}. \] 分子：\(\varphi'(\gamma) - \varphi'(\alpha)\) 是负数减正数，为负。分母为正。因此 \[ \varphi''(\xi) < 0. \]
证毕。
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综上所述，两个小问的证明均已完成，逻辑严密，步骤清晰。