💡 答案解析
**答案**: （C）。
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**解析**:
方法一 逆矩阵的定义
由 $\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ ，得 $\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{3}=(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}\right)$ 。
由可逆矩阵的定义，得 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆且 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}$ ；
再由 $\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{3}=(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A})\left(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}\right)$ ，得 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆且 $(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A})^{-1}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}$ ，应选（C）。
## 方法二 定义法求特征值
令 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\lambda \boldsymbol{X}(\boldsymbol{X} \neq \mathbf{0})$ ，则 $\boldsymbol{A}^{3} \boldsymbol{X}=\lambda^{3} \boldsymbol{X}$,
由 $\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ 得 $\lambda^{3} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{0}$ ，从而 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0$ 。
于是 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,1,1$ ，由 $|\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}|=1 \neq 0$ ，得 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 都可逆，应选（C）。
📋 详细解题步骤
目标：识别已知条件
首先，题目给出矩阵 $A$ 是 $n$ 阶非零矩阵，即 $A \neq O$，且满足 $A^3 = O$（零矩阵）。这意味着 $A$ 是一个幂零矩阵，其幂零指数为 3。幂零矩阵是指存在正整数 $k$ 使得 $A^k = O$，这里 $k=3$ 是最小的正整数吗？不一定，题目只给出 $A^3 = O$，但未说明 $A^2$ 是否为零，因此 $A$ 的幂零指数可能是 2 或 3。由于 $A$ 非零，且 $A^3 = O$，可知 $A$ 的特征值全部为零（因为若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^3 = 0$，故 $\lambda = 0$）。进一步，$A$ 的 Jordan 标准形中每个 Jordan 块的阶数不超过 3，且至少有一个 Jordan 块的阶数为 3（否则 $A^2$ 可能为零，但题目未排除 $A^2 = O$ 的情况，因此需要谨慎）。此外，由 $A^3 = O$ 可得 $A$ 的秩 $r(A)$ 满足 $r(A) \leq n-1$（因为 $A$ 非零且幂零），且 $A$ 的零空间维数至少为 1。这些条件将在后续步骤中用于推导 $A$ 的秩、迹、行列式等性质。特别地，由于 $A$ 是幂零矩阵，其迹 $\operatorname{tr}(A) = 0$（特征值全为零），行列式 $\det(A) = 0$。另外，$A$ 的极小多项式是 $x^3$ 的因式，即 $x$、$x^2$ 或 $x^3$，但 $A \neq O$ 且 $A^3 = O$，所以极小多项式可能是 $x^2$ 或 $x^3$。这些已知条件为后续分析提供了基础。
公式：A^3 = O, \quad A \neq O, \quad \text{特征值全为 } 0
提示：注意幂零指数3不一定是最小指数，A^2可能非零。
目标：构造E-A的逆矩阵
已知矩阵$A$满足$A^3=O$（零矩阵），需要判断$E-A$是否可逆，并求出其逆矩阵。
首先，利用立方差公式：
$$E - A^3 = (E - A)(E + A + A^2)$$
由于$A^3=O$，代入得：
$$E - O = (E - A)(E + A + A^2)$$
即：
$$E = (E - A)(E + A + A^2)$$
上式表明，矩阵$E+A+A^2$右乘$E-A$得到单位矩阵$E$。同理，由于矩阵乘法满足交换律（注意：$E$与任何矩阵可交换，且$A$与$A$本身可交换，因此$E-A$与$E+A+A^2$可交换），我们也可以验证左乘的情况：
$$(E + A + A^2)(E - A) = E + A + A^2 - A - A^2 - A^3 = E - A^3 = E$$
因此，$E-A$与$E+A+A^2$互为逆矩阵。
根据逆矩阵的定义，若$AB=BA=E$，则$B$是$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}=B$。所以：
$$(E - A)^{-1} = E + A + A^2$$
至此，我们成功构造出了$E-A$的逆矩阵，即$E+A+A^2$。
公式：E = (E - A)(E + A + A^2) \quad \Rightarrow \quad (E - A)^{-1} = E + A + A^2
提示：利用已知的代数恒等式（如立方差公式）构造逆矩阵是常用技巧。
目标：构造E+A的逆矩阵
已知 $A^3 = O$（零矩阵），且 $E$ 为单位矩阵。我们考虑立方和公式：
$$E + A^3 = (E + A)(E - A + A^2).$$
由于 $A^3 = O$，左边 $E + A^3 = E + O = E$，因此有
$$E = (E + A)(E - A + A^2).$$
这个等式表明矩阵 $E + A$ 与矩阵 $E - A + A^2$ 相乘等于单位矩阵 $E$。根据逆矩阵的定义，若两个方阵相乘为单位矩阵，则它们互为逆矩阵。因此，$E + A$ 可逆，且其逆矩阵为 $E - A + A^2$，即
$$(E + A)^{-1} = E - A + A^2.$$
注意：这里需要验证 $E - A + A^2$ 是否也为 $E + A$ 的右逆，但由于矩阵乘法满足结合律，且 $E + A$ 与 $E - A + A^2$ 均为方阵，左逆即右逆，故该结果成立。
公式：E = (E + A)(E - A + A^2) \quad \Rightarrow \quad (E + A)^{-1} = E - A + A^2
提示：利用已知条件 $A^3=O$ 将 $E$ 写成乘积形式，直接得到逆矩阵表达式。