💡 答案解析
方法一令 $y^{\prime}=p$ ，得 $y^{\prime \prime}=\displaystyle\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x}$ ，则 $x y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2=0$化为 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x}-\displaystyle\frac{1}{x} p=-\displaystyle\frac{2}{x}$ ，
解得 $y^{\prime}=p=\left(\displaystyle\int-\displaystyle\frac{2}{x} \mathrm{e}^{-\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x+C_{1}\right) \mathrm{e}^{\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x} \mathrm{~d} x}$
$$
=\left(\int-\frac{2}{x^{2}} \mathrm{~d} x+C_{1}\right) x=C_{1} x+2
$$
三（18）题图
再积分得 $y=2 x+\displaystyle\frac{1}{2} C_{1} x^{2}+C_{2}$ ．
由 $y(0)=0$ 得 $C_{2}=0$ ，于是 $y=2 x+\displaystyle\frac{1}{2} C_{1} x^{2}$ ；
再由 $2=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(2 x+\displaystyle\frac{1}{2} C_{1} x^{2}\right) \mathrm{d} x=1+\displaystyle\frac{1}{6} C_{1}$ ，得 $C_{1}=6$ ，故 $y=2 x+3 x^{2}$ 。
由 $x=\displaystyle\frac{1}{3}(\sqrt{3 y+1}-1)(0 \leqslant y \leqslant 5)$ ，得所求体积为
$$
V=5 \pi-\pi \int_{0}^{5} x^{2} \mathrm{~d} y=5 \pi-\frac{\pi}{9} \int_{0}^{5}(\sqrt{3 y+1}-1)^{2} \mathrm{~d} y=5 \pi-\frac{13 \pi}{6}=\frac{17 \pi}{6}
$$
方法二 由 $x y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2=0$ ，得 $\displaystyle\frac{x y^{\prime \prime}-y^{\prime}}{x^{2}}=-\displaystyle\frac{2}{x^{2}}$ ，即 $\left(\displaystyle\frac{y^{\prime}}{x}\right)^{\prime}=-\displaystyle\frac{2}{x^{2}}$ ，于是 $\displaystyle\frac{y^{\prime}}{x}=\displaystyle\frac{2}{x}+C_{1}$ ，或 $y^{\prime}=2+C_{1} x$ ，积分得 $y=\displaystyle\frac{1}{2} C_{1} x^{2}+2 x+C_{2}$ 。
（后面步骤同方法一）
方法点评：本题综合性很强，考查可降阶的微分方程、定积分的几何应用。微分方程与定积分的几何应用相结合是历年考查的热点，先根据已知条件列出微分方程（或题目中给定微分方程），再解微分方程，根据给出的或题目中隐含的初始条件求出函数，最后解决定积分的几何应用。
📋 详细解题步骤
目标：降阶化简微分方程
原方程为二阶微分方程，令 $p = y'$，则 $y'' = p'$。代入原方程：
$$x p' - p + 2 = 0$$
整理为关于 $p$ 的一阶线性微分方程的标准形式：
$$x \frac{dp}{dx} - p + 2 = 0$$
移项得：
$$x \frac{dp}{dx} - p = -2$$
两边除以 $x$（假设 $x \neq 0$）：
$$\frac{dp}{dx} - \frac{1}{x} p = -\frac{2}{x}$$
此时方程已化为 $p' + P(x)p = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = -\frac{1}{x}$，$Q(x) = -\frac{2}{x}$。下一步即可利用一阶线性微分方程的求解公式（积分因子法）求解 $p$。
公式：$$x \frac{dp}{dx} - p + 2 = 0$$
提示：降阶后注意整理成标准形式 $p' + P(x)p = Q(x)$，以便使用积分因子法。
目标：求解一阶线性微分方程
将方程化为标准形式 $p' - \frac{1}{x}p = -\frac{2}{x}$。这是一个一阶线性微分方程，其标准形式为 $p' + P(x)p = Q(x)$，其中 $P(x) = -\frac{1}{x}$，$Q(x) = -\frac{2}{x}$。
首先计算积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\frac{1}{x} \, dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{|x|}$。通常取正数情况，即 $\mu(x) = \frac{1}{x}$（假设 $x>0$）。
将原方程两边乘以积分因子 $\mu(x) = \frac{1}{x}$：
$$\frac{1}{x} p' - \frac{1}{x^2}p = -\frac{2}{x^2}.$$
注意到左边恰好是 $\left( \frac{p}{x} \right)'$，因为 $\frac{d}{dx}\left(\frac{p}{x}\right) = \frac{p' \cdot x - p \cdot 1}{x^2} = \frac{p'}{x} - \frac{p}{x^2}$。
因此方程化为：
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{p}{x}\right) = -\frac{2}{x^2}.$$
两边对 $x$ 积分：
$$\frac{p}{x} = \int -\frac{2}{x^2} \, dx = \frac{2}{x} + C_1,$$
其中 $C_1$ 为任意常数。
最后两边乘以 $x$ 得到 $p$ 的通解：
$$p = 2 + C_1 x.$$
公式：$$p = 2 + C_1 x$$
提示：注意观察左边是 $(p/x)'$ 的形式，可简化计算。
目标：积分得到y的通解
在第二步中，我们已经通过降阶法得到了关于 $p = y'$ 的一阶线性微分方程，并解出了 $p$ 的表达式：$p = 2 + C_1 x$。由于 $p = y'$，因此有 $y' = 2 + C_1 x$。现在对等式两边关于 $x$ 积分，即可得到 $y$ 的通解。
对 $y' = 2 + C_1 x$ 两边积分：
$$
y = \int (2 + C_1 x) \, dx = \int 2 \, dx + \int C_1 x \, dx.
$$
分别计算两个积分：
$$
\int 2 \, dx = 2x,
$$
$$
\int C_1 x \, dx = C_1 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{C_1}{2} x^2.
$$
积分后需加上一个任意常数，记作 $C_2$，因此得到：
$$
y = 2x + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2.
$$
这就是原微分方程的通解，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。注意，这里的 $C_1$ 是第二步中引入的常数，$C_2$ 是本次积分引入的新常数。
公式：$$y = 2x + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2$$
提示：积分后务必添加新的任意常数，并注意系数不要遗漏。
目标：利用过原点条件确定常数
已知微分方程的通解为 $y = 2x + \frac{C_1}{2}x^2 + C_2$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。题目给出初始条件 $y(0) = 0$，即函数图像经过原点。将 $x = 0$ 代入通解表达式：
$$y(0) = 2 \cdot 0 + \frac{C_1}{2} \cdot 0^2 + C_2 = C_2$$
由 $y(0) = 0$ 得 $C_2 = 0$。因此通解简化为：
$$y = 2x + \frac{C_1}{2}x^2$$
此时解中仅含一个待定常数 $C_1$，需利用另一个条件（如导数条件）进一步确定。
公式：$$y(0) = C_2 = 0 \Rightarrow y = 2x + \frac{C_1}{2}x^2$$
提示：代入初始条件时，先化简再代入，避免遗漏常数项。
目标：利用面积条件确定C1
根据题目条件，曲线$y = f(x)$与$x$轴、直线$x=1$以及$x$轴围成的图形面积为2。该图形在$x$从0到1的范围内，$y$恒为非负（因为$f(x)=2x+C_1x^2$，且$C_1>0$，故在$[0,1]$上$y\geq0$），因此面积可直接由定积分计算：
$$S = \int_0^1 y \, dx = \int_0^1 (2x + C_1 x^2) \, dx.$$
逐项积分：
$$\int_0^1 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_0^1 = 1,$$
$$\int_0^1 C_1 x^2 \, dx = C_1 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{C_1}{3}.$$
因此总面积表达式为：
$$S = 1 + \frac{C_1}{3}.$$
但题目给出的面积条件是2，所以有方程：
$$1 + \frac{C_1}{3} = 2.$$
解得：
$$\frac{C_1}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 3.$$
（注意：步骤概要中写为$1 + C_1/6 = 2$，此处应为$1 + C_1/3 = 2$，因为积分结果正确为$C_1/3$。若按概要中的$C_1/6$，则$C_1=6$，但实际计算应为$C_1=3$。请以实际积分结果为准。）
将$C_1=3$代入$y=2x+C_1x^2$，得曲线方程为：
$$y = 2x + 3x^2.$$
公式：$$\int_0^1 (2x + C_1 x^2) \, dx = 1 + \frac{C_1}{3} = 2 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 3$$
提示：注意积分上下限和函数非负性，直接积分即可得到面积表达式。
目标：建立旋转体体积积分表达式
本步骤采用圆筒壳法（柱壳法）计算旋转体体积。题目中曲线为 $y = 2x + 3x^2$（$0 \le x \le 1$），该曲线绕 $y$ 轴旋转一周所形成的立体体积可用圆筒壳法表示为：
$$V = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot y(x) \, dx$$
其中 $x$ 为壳的半径，$y(x)$ 为壳的高度。将 $y(x) = 2x + 3x^2$ 代入，得：
$$V = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot (2x + 3x^2) \, dx = 2\pi \int_{0}^{1} (2x^2 + 3x^3) \, dx$$
至此，旋转体体积的积分表达式已经建立。后续步骤将计算该定积分并得到最终体积数值。
公式：V = 2\pi \int_{0}^{1} (2x^2 + 3x^3) \, dx
提示：圆筒壳法：壳半径 $x$，壳高 $y(x)$，体积微元 $dV = 2\pi x y(x) dx$。
目标：计算定积分得体积
本步骤的目标是计算定积分 $\int_0^1 (2x^2+3x^3) \, dx$，并乘以 $2\pi$ 得到旋转体的体积 $V$。
首先，计算定积分：
$$
\int_0^1 (2x^2+3x^3) \, dx = 2\int_0^1 x^2 \, dx + 3\int_0^1 x^3 \, dx.
$$
分别计算两个积分：
$$
\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3},
$$
$$
\int_0^1 x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}.
$$
代入得：
$$
2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{3} + \frac{3}{4}.
$$
通分计算：
$$
\frac{2}{3} = \frac{8}{12}, \quad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \quad \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}.
$$
因此，
$$
\int_0^1 (2x^2+3x^3) \, dx = \frac{17}{12}.
$$
根据旋转体体积公式（圆盘法或柱壳法），体积 $V$ 等于 $2\pi$ 乘以该定积分：
$$
V = 2\pi \cdot \frac{17}{12} = \frac{17\pi}{6}.
$$
最终答案为 $\boxed{\dfrac{17\pi}{6}}$。
验证：检查积分计算无误，$2\pi$ 乘积分结果正确，单位一致，答案合理。
公式：V = 2\pi \int_0^1 (2x^2+3x^3) \, dx = 2\pi \cdot \frac{17}{12} = \frac{17\pi}{6}
提示：最后一步注意检查积分结果和乘法运算，确保分数化简正确。