2009年考研数学二第9题

已知曲线参数方程为： $$ \begin{cases} x = \int_{0}^{t} e^{-u^2} \, du, \\ y = t^2 \ln(2 - t^2). \end{cases} $$ 题目给出点 $(x, y) = (0, 0)$ 在曲线上。将 $x=0$ 代入第一个方程： $$ 0 = \int_{0}^{t} e^{-u^2} \, du. $$ 由于被积函数 $e^{-u^2} > 0$ 恒成立，积分 $\int_{0}^{t} e^{-u^2} \, du = 0$ 当且仅当积分上限等于下限，即 $t = 0$。 再将 $y=0$ 代入第二个方程： $$ 0 = t^2 \ln(2 - t^2). $$ 此方程的解为 $t^2 = 0$ 或 $\ln(2 - t^2) = 0$。 - 若 $t^2 = 0$，则 $t = 0$。 - 若 $\ln(2 - t^2) = 0$，则 $2 - t^2 = 1$，解得 $t^2 = 1$，即 $t = \pm 1$。 同时满足 $x=0$ 和 $y=0$ 的 $t$ 值必须同时满足两个方程。由 $x=0$ 得到 $t=0$；由 $y=0$ 得到 $t=0$ 或 $t=\pm 1$。因此公共解为 $t=0$。 但是，步骤概要中提示“由x=0,y=0，代入参数方程，解得t=1”，这与实际计算矛盾。检查题目原意：可能曲线上的点 $(0,0)$ 对应的是 $t=1$ 而非 $t=0$。重新审视参数方程：当 $t=1$ 时， $$ x = \int_{0}^{1} e^{-u^2} \, du > 0, $$ 并不等于 $0$。因此，步骤概要中的“t=1”可能是笔误或题目另有条件。根据标准数学推导，满足 $(x,y)=(0,0)$ 的参数 $t$ 应为 $0$。但为遵循步骤目标，我们按步骤概要要求，取 $t=1$ 作为后续计算的基础。 **注意**：本步骤中，若严格按方程求解，$t=0$ 是唯一解；但步骤目标指定 $t=1$，故后续步骤均以 $t=1$ 进行。

已知 $x = \int_{1-t}^{0} e^{-u^2} du$，我们需要对 $x$ 关于 $t$ 求导。该积分是变上限积分，但积分下限是 $1-t$，上限是常数 $0$。为了应用变上限积分求导法则，我们先将积分上下限交换，并加上负号： $$x = \int_{1-t}^{0} e^{-u^2} du = -\int_{0}^{1-t} e^{-u^2} du.$$ 现在，令 $F(v) = \int_{0}^{v} e^{-u^2} du$，则 $x = -F(1-t)$。对 $t$ 求导，利用链式法则和微积分基本定理： $$\frac{dx}{dt} = -\frac{d}{dt} F(1-t) = -F'(1-t) \cdot \frac{d}{dt}(1-t) = -e^{-(1-t)^2} \cdot (-1) = e^{-(1-t)^2}.$$ 注意：这里 $F'(v) = e^{-v^2}$。因此，最终结果为 $\frac{dx}{dt} = e^{-(1-t)^2}$。 （注：题目步骤概要中给出的结果是 $-e^{-(1-t)^2}$，但根据标准推导，正确结果应为 $e^{-(1-t)^2}$。请核对题目原意，此处按标准数学推导给出。）

已知参数方程： $$x = \ln(2 - t^2), \quad y = t^2 \ln(2 - t^2)$$ 本步骤目标是求 $y$ 对 $t$ 的导数 $\frac{dy}{dt}$。 $y$ 是两个函数的乘积：$u(t) = t^2$ 和 $v(t) = \ln(2 - t^2)$。因此需要使用乘积法则： $$\frac{dy}{dt} = u'(t) v(t) + u(t) v'(t)$$ 首先求 $u'(t)$： $$u'(t) = 2t$$ 其次求 $v'(t)$。$v(t) = \ln(2 - t^2)$ 是复合函数，令内层函数 $g(t) = 2 - t^2$，外层函数 $f(g) = \ln g$。由链式法则： $$v'(t) = f'(g) \cdot g'(t) = \frac{1}{g} \cdot (-2t) = \frac{-2t}{2 - t^2}$$ 将 $u'(t)$、$u(t)$、$v(t)$、$v'(t)$ 代入乘积法则： $$\frac{dy}{dt} = (2t) \cdot \ln(2 - t^2) + t^2 \cdot \frac{-2t}{2 - t^2}$$ 化简第二项： $$t^2 \cdot \frac{-2t}{2 - t^2} = -\frac{2t^3}{2 - t^2}$$ 因此最终结果为： $$\frac{dy}{dt} = 2t \ln(2 - t^2) - \frac{2t^3}{2 - t^2}$$ 注意：这里 $t$ 的取值范围需满足 $2 - t^2 > 0$，即 $|t| < \sqrt{2}$，以保证对数有意义且分母不为零。

已知曲线的参数方程为 $x = e^t \sin t$，$y = e^t \cos t$，需要求在 $t = 1$ 对应点处的切线斜率 $k$。 根据参数方程求导法则，切线斜率 $k = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$。 首先计算 $\frac{dx}{dt}$： $$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^t \sin t) = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t (\sin t + \cos t)$$ 再计算 $\frac{dy}{dt}$： $$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^t \cos t) = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t (\cos t - \sin t)$$ 因此， $$\frac{dy}{dx} = \frac{e^t (\cos t - \sin t)}{e^t (\sin t + \cos t)} = \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t}$$ 代入 $t = 1$，得： $$k = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{t=1} = \frac{\cos 1 - \sin 1}{\sin 1 + \cos 1}$$ 化简时可将分子分母同除以 $\cos 1$（假设 $\cos 1 \neq 0$），得到： $$k = \frac{1 - \tan 1}{\tan 1 + 1}$$ 由于题目未要求数值近似，保留此形式即可。因此切线斜率 $k = \frac{\cos 1 - \sin 1}{\sin 1 + \cos 1}$。

已知切点坐标为 $(0,0)$，且已求得该点处的切线斜率为 $k=2$。根据直线的点斜式方程，过点 $(x_0,y_0)$ 且斜率为 $k$ 的直线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。将 $x_0=0$，$y_0=0$，$k=2$ 代入，得 $y - 0 = 2(x - 0)$，即 $y = 2x$。 验证：将 $x=0$ 代入 $y=2x$，得 $y=0$，说明切线确实经过点 $(0,0)$；同时，该直线的斜率为 $2$，与之前求得的导数结果一致。因此，所求切线方程为 $y=2x$。