2007年考研数学一第15题

根据题目条件，矩阵$A$是一个$4 \times 4$的幂零矩阵，且其主对角线上方的次对角线元素全为$1$，其余元素均为$0$。幂零矩阵是指存在正整数$k$使得$A^k = 0$，这里我们构造的矩阵$A$满足$A^4 = 0$。 具体构造如下： - 矩阵的行号和列号均从$1$开始。 - 主对角线元素：$a_{11}=0, a_{22}=0, a_{33}=0, a_{44}=0$。 - 主对角线上方的次对角线（即第$i$行第$i+1$列，$i=1,2,3$）元素为$1$：$a_{12}=1, a_{23}=1, a_{34}=1$。 - 其余所有元素均为$0$。 因此，矩阵$A$为： $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 这个矩阵是一个典型的Jordan块（幂零Jordan块），其幂零指数为$4$，即$A^4 = 0$，而$A^3 \neq 0$。后续步骤将基于此矩阵进行运算。

已知矩阵 $A$ 为： $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 计算 $A^2 = A \times A$。设 $A$ 的元素为 $a_{ij}$，则 $A^2$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $\sum_{k=1}^{4} a_{ik} a_{kj}$。 由于 $A$ 中只有 $a_{13}=1$ 和 $a_{24}=1$，其余元素均为 0，因此乘积中非零项仅出现在 $a_{ik}=1$ 且 $a_{kj}=1$ 的位置。 具体计算： - 第1行：$i=1$，$a_{13}=1$，则 $k=3$，需要 $a_{3j}=1$，但 $A$ 的第3行全为0，故第1行所有元素为0。 - 第2行：$i=2$，$a_{24}=1$，则 $k=4$，需要 $a_{4j}=1$，但 $A$ 的第4行全为0，故第2行所有元素为0。 - 第3行：$i=3$，第3行全为0，故第3行所有元素为0。 - 第4行：$i=4$，第4行全为0，故第4行所有元素为0。 因此 $A^2$ 为零矩阵： $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 注意：步骤概要中描述“结果只有第1行第3列和第2行第4列为1”有误，实际计算 $A^2$ 应为零矩阵。此处按正确计算给出结果。

已知矩阵 $A$ 为 $4 \times 4$ 矩阵，且已计算出 $A^2$ 的结果。根据步骤概要，$A^2$ 是一个只有第1行第3列为1、其余元素全为0的矩阵，即 $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ 现在计算 $A^3 = A^2 \cdot A$。设 $A$ 的元素为 $a_{ij}$，则 $A^3$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $\sum_{k=1}^4 (A^2)_{ik} \cdot a_{kj}$。由于 $A^2$ 中只有 $(A^2)_{13}=1$，其余均为0，因此只有当 $i=1$ 且 $k=3$ 时非零项才可能贡献。于是 $$(A^3)_{1j} = (A^2)_{13} \cdot a_{3j} = 1 \cdot a_{3j} = a_{3j}, \quad j=1,2,3,4,$$ 而 $i \neq 1$ 时 $(A^3)_{ij}=0$。 接下来需要知道 $A$ 的第3行元素。根据题目条件（或前几步推导），$A$ 是一个特殊的幂零矩阵，其非零元素仅出现在次对角线上，具体形式为 $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ 因此 $a_{31}=0,\, a_{32}=0,\, a_{33}=0,\, a_{34}=1$。代入得 $$(A^3)_{11}=0,\, (A^3)_{12}=0,\, (A^3)_{13}=0,\, (A^3)_{14}=1,$$ 其余行全为0。所以 $$A^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ 至此，$A^3$ 计算完成，结果只有第1行第4列为1，其余全为0。

由前一步计算得到矩阵 $A^3$ 的具体形式为： $$A^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 观察该矩阵，除第4行第4列元素为1外，其余所有元素均为0。因此，矩阵 $A^3$ 的非零行只有一行（第4行），非零列也只有一列（第4列）。根据矩阵秩的定义，秩等于矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目。由于只有一行非零，且该行非零，故行秩为1；同理列秩也为1。因此，矩阵 $A^3$ 的秩为1。 最终答案验证：$\operatorname{rank}(A^3) = 1$。